EC Dif Orden 1 Parte 3 20121

Parte 3

Arte y Diseño: César Saal R.

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Arte y Diseño: César Saal R.

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Arte y Diseño: César Saal R.

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Problema General
Consideremos un tanque que contiene V0 litros de
un cierto liquido, en el cual están disueltos q0 gramos
de una cierta sustancia S ( por ejemplo, puede ser el
caso de una salmuera: el liquido es el agua, la sustancia es la sal).
En el instante inicial t = 0, comienza afluir al tanque

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una solución a la razón de ve litros/ min., con una concentración de Ce gramos de S por litro de solución.
Determinar en un instante t cualquiera:
a)  El volumen en el tanque
b)  La concentración de la sustancia S contenida en
el recipiente
c)  La cantidad de la sustancia S contenida en el depósito en cualquier instante t

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Solución
Efectuamos un gráfico en un instante cualquiera:
ve litros/ min

Entra

Ce gramos/litro

Volumen en un instante t

V0
Cantidad en t = 0

q0

Volumen en t = 0
Sale

vs litros/min.
Cs gramos /litro

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En un instante t sean:
q(t) = cantidad de la sustancia S presente en el depósito
V(t) = Volumen en el depósito
C(t) = concentración de la sustancia Sen el deposito
a) Cálculo del volumen V
Como en cada minuto entra ve litros y sale vs litros,
quedan ve - vs litros por minuto
Luego en un instante t tendremos (ve – vs)t litros

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El volumen V en un instante t será: V = V0 + (ve – vs)t
b) Cálculo de la concentración de la sustancia S en
el instante t
Sea C dicha concentración, luego:

q
cantidad 
donde q = q(t) esC
C
V0  (v e  v s )t
volumen
la cantidad de la sustancia S presente en el depósito en
el instante t
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c) Cálculo de la cantidad de la sustancia S contenida en el depósito en un instante cualquiera.
Del grafico anterior se tiene:

 Variación de la

 cantidad de la
 sustancia S en

 el tanque



  Cantidad
  que entra
 =
  de S


qe



 dt 

dq
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 Cantidad

 que sale
 de S




dt ....( I )



qs

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Se deduce que:

dq
qe  qs
dt

dq = qedt - qedt 

....( I )

Cálculo de qe
Entra

ve litros/ min
Ce gramos/litro

qe = (ve litros/ min)(Ce gramos/litro)

qe = (ve )(Ce )
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Cálculo de qs
Como la mezcla esta bien agitada tendremos que la
concentración de la sustanciaque sale Cs es igual a la
concentración C de la sustancia en el depósito:Cs = C
Luego:
Sale

vs litros/ min
Cs gramos/litro

qs = (vs litros/ min)(Cs gramos/litro)

qs = (vs ) (Cs )
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Reemplazamos en ( I ):


v sq
dq
dq
v eCe 
v eCe  v sC s 
V0  (v e  v s )t
dt
dt



dq
v sq

v e C e
dt V0  (v e  v s )t

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Aplicaciones1. Un tanque contiene inicialmente 100 litros de agua salada,
que llevan disueltos 50gramos de sal.
En t = 0 comienza a fluir al tanque una solución con una concentración de sal de 2g/l, con una rapidez de 2 l/s.
La mezcla bien agitada, abandona el tanque con una rapidez de 3 l/s. Determine la cantidad de sal que hay en
el tanque después de 10 segundos.
Rpta: 2(90) - 10-5(90)3 g.
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2. Un tanque contiene inicialmente 410 litros de jarabe,
que llevan disueltos 40 kilogramos de azúcar.
En t = 0 comienza a fluir agua al tanque a razón de 3 l/min.,
al mismo tiempo que se saca jarabe a razón de 2 l/min.
Sabiendo que la mezcla se mantiene homogénea por agitación constante, determinar la cantidad de azúcar que
queda en el tanque después de 1,5 horas.
Rpta: 26, 896kg

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3. El valor del papel moneda en circulación en un país suma
2.1011 unidades monetarias (u.m.). El gobierno decide
cambiar todo el papel moneda que se deposita en los
bancos por un nuevo tipo de papel moneda.
Si el importe depositado en los bancos diariamente es de
12.108 u.m.; determinar el tiempo necesario para que el
75% del papel moneda en circulación...