Ec. Dif.

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Luis Angel Zaldívar Cruz
Agosto 2004

ii

Índice general
I

Ecuaciones diferenciales ordinarias

1

1. Introducción a las ecuaciones diferenciales
1.1. Observaciones generales . . . . . . . . . . .
1.1.1. Definición de ecuación diferencial . .
1.2. Clasificación de las ecuaciones diferenciales
1.2.1. Clasificación según el tipo . . . . . .1.2.2. Clasificación según el orden y grado
1.2.3. Clasificación según la linealidad . . .
1.3. Solución de una ecuación diferencial . . . .
1.3.1. Más terminología . . . . . . . . . . .

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2. Ecuaciones diferenciales de primer orden
2.1. Teoría preliminar . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Variables separables . . . . . . . . . . . .
2.3. Ecuaciones homogéneas . . . . . . . . . .
2.4. Ecuaciones exactas . . . . . . . . . . . . .
2.4.1. Factor integrante. . . . . . . . . .
2.5. Ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . .
2.5.1. Un factor integrante . . . . . . . .
2.5.2. Método de solución . . . . . . . . .
2.5.3. Ecuación de Bernoulli . . . . . . .

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3. Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden
37
3.1. Trayectorias ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.1.1. Procedimientopara encontrar las trayectorias ortogonales
de una familia dada de curvas . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.2. Problemas de tasas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2.1. Tasa de crecimiento y decaimiento . . . . . . . . . . . . . 41
3.3. Problemas de mezclas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.4. Problemas en mecánica . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 47
3.4.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.4.2. Problemas de caida libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.4.3. Fuerzas de fricción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.5. Circuitos eléctricos simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
iii

iv

ÍNDICE GENERAL

4. Métodos explícitos de solución para lasecuaciones diferenciales
lineales de orden superior
61
4.1. Teoría básica de las ecuaciones diferenciales lineales . . . . . . . . 61
4.1.1. Reducción de orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.1.2. La ecuación no homogénea . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.2. La ecuación lineal homogénea con coeficientes constantes . . . . 77
4.2.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 77
4.2.2. Raíces de un polinomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.2.3. Caso 1. Raíces reales distintas . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.2.4. Caso 2. Raíces reales repetidas . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.2.5. Caso 3. Raíces complejas conjugadas . . . . . . . . . . . . 85
4.2.6. Problema de valor inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.3. El métodode coeficientes indeterminados
. . . . . . . . . . . . 88
4.3.1. El método . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.4. Variación de parámetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.4.1. El método . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.4.2. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.5. La ecuación de Cauchy-Euler . . ....