ec diferencial

4. El modelo del tanque
Algunos procesos se componen de partes que se pueden imaginar como un tanque al cual
entra y del cual sale una corriente de un flu´ıdo portador de una o varias sustanciasdisueltas.
El proceso total tiene lugar debido a la interacci´on, es decir, a los intercambios de flu´ıdo de
las sustancias entre s´ı y con el exterior.
Trabajaremos con los siguientes supuestos:
Unasoluci´on con una concentraci´on de entrada ce (masa/volumen) de cierta sustancia
X entra al tanque que puede contener X y otras sustancias a una raz´on de entrada
ve(t)(vol/tiempo), que seinterpreta como un caudal de entrada.
La mezcla es agitada instant´aneamente dentro del tanque de forma que en cada punto
del tanque la concentraci´on es la misma. A continuaci´on la mezcla sale del tanquea
una raz´on vs(t)(vol/tiempo), que se interpreta como un caudal de salida.
La pregunta que se quiere responder es: ¿Cu´al es la cantidad x = x(t) de la sustancia X en
el tanque, en cada instante?Formulaci´on: Sean
x = x(t) ≡ cantidad de sustancia X en el instante t,
V = V (t) ≡ volumen total de la mezcla en el tanque en el instante t,
c =
x
V
≡ concentraci´on de X en el tanque en elinstante t.
Puesto que la mezcla es agitada instant´aneamente, para la concentaci´on de salida cs = cs(t)
se tiene
cs(t) = c(t).
5Bajo el supuesto de que la sustancia X no se crea ni se destruye enel proceso, y como
cs(t) = c(t) =
x(t)
V (t)
, tenemos que
dx
dt
= ve(t) ce(t) − vs(t) cs(t) = ve(t) ce(t) − vs(t)
x(t)
V (t)
De lo cual se deduce la siguiente ecuaci´on diferencial para x= x(t)
dx
dt
+
vs(t)
V (t)
x = ve(t) ce(t).
En cuanto al volumen V = V (t) tenemos
dV
dt
= ve(t) − vs(t).
Integrando a ambos lados se tiene
V (t) = V (0) +
Z t
0
(ve(ξ) − vs(ξ)) dξ.Ejercicios
1. A un tanque que conten´ıa 400 litros de agua pura se bombea una soluci´on de aguasal que contiene 0.05 kg de sal por litro, a una raz´on de 8 litros por minuto. La
mezcla homogeneizada...