ec. diferenciales

El objetivo de este artículo es dar una pequeña introducción más bien práctica a las Series de Fourier explicando paso a paso un ejemplo muy sencillo.

Una expansión trigonométrica de una funciónf(x) está dada por una sumatoria o serie del tipo:


Esta serie puede ser finita o infinita.

Las expansiones trigonométricas surgieron en el siglo 18 durante estudios de vibración de cuerdasy otros fenómenos similares pero no fueron tratadas de una manera sistemática sino hasta que, en 1808, Jospeh Fourier escribió "Théorie Analytique de la Chaleur" (Teoría Analítica del Calor), donderealizó un estudio detallado de las series trigonométricas las cuales utilizó para resolver varios problemas relacionados con la conducción de calor. Su trabajo fue controversial en su momento y, aúndespués de dos siglos, las series de Fourier son importantes, tanto práctica como teóricamente y siguen siendo objeto de investigación.

Existen diversas razones para expandir una señal como unaserie trigonométrica. Por ejemplo, si f(t) es una señal como podría ser la música que emite un instrumento musical, la descomposición de la función en la serie nos da las frecuencias de los componentesque forman la señal.


En este ejemplo t es la variable independiente y se refiere al tiempo. Una señal como 2sin(t) -50sin(3t) +10sin(200t) tiene componentes que vibran a 1, 3 y 200 veces porperíodo. Por los coeficientes podemos ver que el que predomina es 50sin(3t).

Una tarea común en el análisis de señales es la eliminación del ruido de alta frecuencia. Un enfoque para llevar estoacabo es expresar la señal como una serie trigonométrica y poner a cero los coeficientes de las frecuencias altas.

Otra tarea es la compresión de datos. Aquí el enfoque puede ser, expresar lafunción en términos de una expansión trigonométrica y conservar solo aquellos términos cuyos coeficientes sean mayores que algún umbral de tolerancia.

Pues bien empecemos con el aspecto práctico....