Ec

Ecuaciones Diferenciales 1ra Unidad


VARIABLES SEPARABLES

𝒅𝒚
Una ec. dif. de primer orden de la forma
= 𝒈(𝒙)𝒇(𝒚) ; se dice que es separable .- por
𝒅𝒙
ejemplo:
𝒅𝒚𝒅𝒙

= 𝒙𝟐 𝒆𝒙+𝟒𝒚


ϫ

𝒅𝒚
𝒆𝟒𝒚

= 𝒙𝟐 𝒆𝒙 𝒅𝒙

ECUACIÓN LINEAL

Una ec. dif. de la forma
𝒅𝒚

(1)…….

Α0(x) 𝒅𝒙 + A1 (x)Y=g(x)

Se llama una ec. dif. lineal de 1er orden. Sidividimos la ec. (1) entre Α0(x), obtenemos la forma
estándar de la ec. lineal.
(2)……

𝒅𝒚
+
𝒅𝒙

𝑷(𝒙)𝒚 = 𝑸(𝒙)

Ejemplos:
2𝑦´ + 𝑥𝑦 = 𝑥 2

entonces;

𝑥
2

𝑦´ + 𝑦 =

𝑥2
2𝐹𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑒𝑠𝑡á𝑛𝑑𝑎𝑟

Pasos para resolver este tipo de ecuaciones lineales:
∞ Escribir la ec. de la forma (1) en la forma (2)
∞ Identifique en la forma estándar, P(x) y calcule elfactor integrante
𝒆∫ 𝑷(𝒙)𝒅𝒙 𝒇𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒈𝒓𝒂𝒍
∞ Multiplique este factor integrante a toda la ec. estándar
∞ Integra la ec. resultante


ECUACIONES EXACTAS

Una ec.dif. de 1er oden de la forma (𝟏) … … … 𝑴(𝒙, 𝒚)𝒅𝒙 + 𝑵(𝒙, 𝒚)𝒅𝒚 = 𝟎 ; se dice que
es una ex. Exacta si el lado izquierdo de la ec. (1) es el diferencial de alguna función𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝐶
Criterio para saber cuando una ec. de la forma (1) es exacta

𝜕𝑀
𝜕𝑦

=

𝜕𝑁
𝜕𝑥

ó bien My=Nx

II.- Se integra 𝑓(𝑥, 𝑦) = ∫ 𝑑𝑥 𝑜´ ∫ 𝑑𝑦
III.- Para encontrarg(y), derivamos f respecto a y e igualamos con N ó bien para encontrar g(x)
derivamos f respecto a x e igualamos con M
𝜕𝑓
𝜕𝑦



ó

𝜕𝑓
𝜕𝑥

UNA EC. NO EXACTA HECHA EXACTA¡!

∞ Si

𝑀𝑦−𝑁𝑥
𝑁

𝑀𝑦−𝑁𝑥
𝑑𝑥
𝑁

este depende solo de x, el factor integrante es: 𝑈(𝑥) = 𝑒 ∫

Ecuaciones Diferenciales 1ra Unidad

∞ Si

𝑁𝑥−𝑀𝑦
𝑀

𝑁𝑥−𝑀𝑦
𝑑𝑦
𝑀

estedepende solo de y, el factor integrante es: 𝑈(𝑦) = 𝑒 ∫

∞ El factor integrante obtenido se multiplica a la función y se hacen los pasos para una
ec. exacta....