EcDif_Lin_OrdenSup 1

UNIVERSIDAD VERACRUZANA
´
´
FACULTAD DE INGENIER´IA MECANICA
ELECTRICA
CAMPUS POZA RICA
Ecuaciones diferenciales lineales de orden
superior y sus aplicaciones.
Notas tomadas del libro:
´ ticas Avanzadas para Ingenier´ıa
Matema
Dennis G. Zill & Warren S. Wright
Octubre 2014
´Indice
1. Ecuaciones Homog´eneas
1.1. Dependencia e Independencia Lineal
1.2. Ecuaciones no homog´eneas
2. Ecuacioneslineales homog´eneas con coeficientes constantes
2.1. Introduci´on
2.2. Ecuaci´on auxiliar
3. Coeficientes indeterminados
3.1. Introducci´on
3.2. M´etodo de coeficientes indeterminados
4. Variaci´on de par´ametros
4.1. Introducci´on
4.2. Algunos supuestos
4.3. M´etodo de variaci´on de par´ametros
4.4. Resumen del m´etodo
5. Sistema resorte-masa: movimiento libre no amortiguado
5.1. Introducci´on
6.Sistema resorte-masa-amortiguador: Movimiento libre amortiguado
6.1. Introducci´on
6.2. Ecuaci´on diferencial de movimiento libre amortiguado
7. Sistema resorte-masa-amortiguador: Movimiento forzado
7.1. Ecuaci´on diferencial del movimiento forzado con amortiguamiento
7.2. T´ermino transitorio y permanente
8. Ecuaci´on diferencial de movimiento forzado no amortiguado
8.1. Introducci´on
8.2. Ecuaci´ondiferencial de movimiento forzado no amortiguado
8.3. Resonancia pura

1.

1
2
4
6
6
6
9
9
9
13
13
13
13
14
15
15
19
19
19
23
23
24
25
25
25
26

´neas
Ecuaciones Homoge

Se dice que una ecuaci´on diferencial de n-´esimo orden de la forma
dn y
dn−1 y
dy
+
a
(x)
+
·
·
·
+
a
(x)
+ a0 (x)y = 0
n−1
1
dxn
dxn−1
dx
es homog´
enea, mientras que una ecuaci´on del tipo
an (x)

1

(1.1)

2

dn y
dn−1 y
dy(1.2)
+
a
(x)
+ · · · + a1 (x) + a0 (x)y = g(x)
n−1
n
n−1
dx
dx
dx
con g(x) no id´entica a cero, es no homogenea. Por ejemplo, 2y + 3y − 5y = 0 es una ecuaci´on
diferencial homog´enea lineal de segundo orden, en tanto que x2 y + 6y + 10y = ex es una ecuaci´on
diferencial lineal no homog´enea de tercer orden. Veremos que para resolver una ecuaci´on lineal no
homog´enea (1.2), primero debemosresolver la ecuaci´
on homog´
enea asociada (1.1).
an (x)

Observaci´
on 1 (Algunos supuestos). Para evitar repeticiones innecesarias a lo largo de este estudio, tendremos que recordar, de manera autom´atica, los siguientes supuestos importantes cuando
se enuncien definiciones y teoremas acerca de las ecuaciones lineales (1.1) y (1.2). En un intervalo
com´
un I.
los coeficientes ai (x), i = 0, 1, 2, . .. , n, son continuos;
el miembro g(x) del lado derecho es continuo, y
an (x) = 0 para toda x en el intervalo.
En el teorema siguiente vemos que la suma o superposici´
on, de dos o m´as soluciones de una
ecuaci´on diferencial lineal homog´enea
Teorema 1 (Principio de supersposici´on: ecuaciones homog´eneas). Digamos que y1 , y2 ,. . .,yk son
soluciones de la ecuaci´on diferencial homog´enea (1.1)de n-´esimo orden en un intervalo I. entonces
la combinaci´on lineal
y = c1 y1 (x) + c2 y2 (x) + · · · + ck yk (x)
donde las ci , i = 1, 2, . . . , k son constantes arbitrarias, es tambi´en una soluci´on en el intervalo.
Observaci´
on 2 (Consecuencias del teorema 1).
1. Un m´
ultiplo constante y = c1 y1 (x) de una soluci´on y1 (x) de una ecuaci´on doferencial lineal
homog´enea tambi´en essoluci´on.
2. Una ecuaci´on diferencial lineal homog´enea siempre posee la soluci´on trivial y = 0.
Ejemplo 1 (Superposici´on: ecuaci´on diferencial homog´enea). Las funciones y = x2 y y = x2 ln x
son soluciones de la ecuaci´on lineal homog´enea x3 y − 2xy + 4y = 0 en el intervalo (0, ∞). Por el
principio de superposici´on, la combinaci´on lineal
y = c1 x2 + c2 x2 ln x
es tambi´en una soluci´on de laecuaci´on en el intervalo.
La funci´on y = e7x es una soluci´on de y − 9y + 14y = 0. Como la ecuaci´on diferencial es lineal
y homog´enea, el m´
ultiplo constante
y = ce7x ser´a tambi´en una soluci´on. Para los diferentes valores
√
de c vemos que y = 9e7x , y = − 5 e7x ,. . ., son todas soluciones de la ecuaci´on.
1.1.

Dependencia e Independencia Lineal.

Definici´
on 1 (Dependencia lineal e...