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EJERCICIOS RESUELTOS DE:
Ecuaciones Diferenciales

ACADEMIA DE MATEMÁTICAS
ESCUELA DE INGENIERÍA EN COMPUTACIÓN Y ELECTRÓNICA
UNIVERSIDAD DE LA SALLE BAJIO

ECUACIONES DIFERENCIALES
CAPITULO 6
19.- Seleccionar entre las siguientes ecuaciones las que son lineales, establecer la
variable dependiente y resolverlas.
dy / dx + y = 2 + 2 x
a) Sol.
y = 2 x + Ce − x

y; F .I ., e x

dρ / dθ + 3ρ = 2
b)Sol.

ρ ; F .I ., e3ϑ

3ρ = 2 + Ce −3ϑ

dy / dx − y = xy 2
c) Sol.
No es Lineal
xdy − 2 ydx = ( x − 2)e x dx

d) Sol.
y = e x + Cx 2

y; F .I .,1 / x 2

e)

di
- 6i = 10sen2t
dt
Sol.
i

F .I ., e − 6t

i = −1 / 2(3 sen2t + cos 2t ) + Ce − y

dy / df + y = y 2 e x
f) Sol.
No es Lineal
ydx + ( xy + y − 3 y )dy = 0
g) Sol.
x; F .I ., ye y

xy = 3( y − 1) + Ce − y

(2s − e 2t )ds = 2( se 2t − cos 2t)dt
h) Sol.
No es Lineal

i)

xdy + ydx = x 3 y 6 dx
Sol.
No es Lineal

dr + (2r
j)

ctg θ + sen2θ )dθ = 0

Sol.
r ; F .I ., sen 2θ

2rsen 2θ + sen 4θ = C

y (1 + y 2 )dx = 2(1 − 2 xy 2 )dy

k) Sol.
x; F .I ., (1 + y 2 ) 2

l)

(1 + y 2 ) 2 x = 2 ln y + y 2 + C

yy'− xy 2 + x = 0
Sol.
No es Lineal
xdy − ydx = x x 2 − y 2 dy

m) Sol.
No es Lineal

φ1 (t )dx / dt + xφ2 (t ) = 1
n) Sol.
x; F .I ., e∫ φ2 (t )dt / φ1 (t );

xe

∫ φ (t )dt / φ (t )
2

1

=

xy' = y (1 − xtgx) + x 2 cos x
p) Sol.
1
y = x 2 cos x + Cx cos x
y; F .I .,
xcox
(2 + y 2 )dx − ( xy + 2 y + y 3 )dy = 0
q) Sol.

(1 + y 2 )dx = (arc
r) Sol.
x; F .I ., e arctgy

x = 2 + y2 + C 2 + y2
tg

x = arc

y − x)dy
tg

y − 1 + Ce −arctg

2

1

2dx / dy − x / y + x 3 cos y = 0
o) Sol.
No es Lineal

x; F .I .,1 / 2 + y 2

1

∫ φ (t ) ∫φ (t )dt / φ (t )dt + C

y

e

1

(2 xy 5 − y )dx + 2 xdy = 0
s) Sol.
No es Lineal

t)

(1 + seny)dx = [2 y cos y − x(sec y + tgy )]dy
Sol.
x; F .I ., sec y + tgy; x(sec y + tgy ) = y 2 + C

20.- De las ecuaciones que queden del problema 19 resolver las que pertenecen al tipo
Bernoulli.
dy / dx − y = xy 2
c) Sol.
y −1 = υ ; 1 / y = 1 − c + Ce − x
dy / df + y = y 2 e x
f) Sol.
y −1 = υ ; (C + x) yex + 1 = 0
xdy + ydx = x 3 y 6 dx
i) Sol.
y −5 = υ ; 2 / y 5 = Cx 5 + 5 x 3

yy'− xy 2 + x = 0
l) Sol.
y 2 = υ;

y 2 = 1 + Ce x

2

2dx / dy − x / y + x 3 cos y = 0

o) Sol.
x −2 = υ ; x −2 y = cos y + yseny + C
(2 xy 5 − y )dx + 2 xdy = 0
s) Sol.
y −4 = υ ; 3 x 2 = ( 4 x 3 + C ) y 4

21.- Resolver las ecuaciones h) y m) que son las que quedan del problema 19
(2s − e 2t )ds = 2( se 2t − cos 2t)dt

h) Sol.
s 2 − se 2t + sen2t = C

22.Resolver:

xdy − ydx = x x 2 − y 2 dy
m) Sol.
y = xsen( y + C )

con la condición y =0 para x=1

xy ' = 2 y + x 3 e x
dy
= 2 y + x 3e x
dx
dy 2 y x 3 e x
=
+
a)
dx
x
x
2 x
dy ⎡ 2 y x e ⎤
dx = 0
−
dx ⎢⎣ x
1 ⎥⎦
x

2
x
μ ( x) = e ∫ p ( x ) dx = − x 2
p ( x) =

Solución:

y = x 2 ( e x − e)

di
donde L,R,E son constantes, con la condición i=0 para t=0.
+ Ri =Esen2t
dt
di Esen2t Ri
=
−
dt
L
L
⎡ Ri Esen2t ⎤
di ⎢ −
dt = 0
L
L ⎥⎦
⎣
b)
Ri
p( X ) =
L
Esen2t
f (X ) =
L
ERsen2t 2 E cos 2t
μ ( x) = e ∫ p ( x ) dx =
−
L2
L
E
⎛⎜ Rsen2t − 2 cos 2t + 2 Le − Rt L ⎞⎟
Solución: i = 2
⎠
R + 4 L2 ⎝
L

23. Resolver
dy
x 2 cos y = 2 xseny − 1, empleando sen y = z
dx
dy
x 2 cos y = 2 xz − 1
dx
dy
= 2 xz − 1
.
a) x 2 z 2
dx
dy 2 xz − 1
=
dx
x2 z 2
dy
dx 2 xz − 1
= z+x =
dxdz
x2 z 2

(

) (

)

4 x 2 yy ' = 3 x 3 y 2 + 2 + 2 3 y 2 + 2 empleando 3y2 + 2 = z.
dy
= 3 xz + 2 z 3
dx
3
b) dy = 3 xz + 2 z
dx
4x2 y
4x2 y

dy
dx 3 xz + 2 z 3
= z+x
=
dx
dz
4x2 y

(xy − y − x e )dx + 3 xy dy = 0, empleando y
c) (x(vx) − (vx) − x e )dx + 3 xy dy = 0
x((vx − v − xe )dx + (3 y dy )) = 0
3

3

2 x

2

2 x

= vx

2

2

x

dy

3

+ x( x + y ) = x 3 (x + y ) − 1.
3

dx
dy
dx

+ xv = x3 v 3 − 1

d) dy

= x 3 v 3 − xv − 1
dx
x dv = x 3v 3 − xv − v − 1
dx
1
1
dx = 3 3
dv
x
x v − xv − v − 1

sol a) = 3xseny = Cx 3 + 1

(

)(

sol b) = 4 x 9 = C − 3 x 8 3 y 2 + 2
sol c) = 2 y 3 e x = xe 2 x + Cx

)

sol d) = 1 ( x + y ) = x 2 + 1 + Ce x
2

2

2

CAPITULO 8

22.-Un muchacho se mueve en una linea recta de modo que su velocidad excede en 2 a su
distancia respecto de un punto...