Eclipse

Ecuación reducida de la elipse
Tomamos como centro de la elipse el centro de coordenadas y los ejes de la elipse como ejes de coordenadas. Las coordenadasde los focos son:

F'(-c,0) y F(c,0)
Cualquier punto de la elipse cumple:

Esta expresión da lugar a:

Realizando las operaciones llegamos a:Ejemplo
Hallar los elementos característicos y la ecuación reducida de la elipse de focos: F'(-3,0) y F(3, 0), y su eje mayor mide 10.

Semieje mayorSemidistancia focal

Semieje menor

Ecuación reducida

Excentricidad

Ecuación reducida de eje vertical de la elipse

Si el eje principal está en elde ordenadas se obtendrá la siguiente ecuación:

Las coordenadas de los focos son:
F'(0, -c) y F(o, c)
Ejemplo
Dada la ecuación reducida de la elipse, hallar las coordenadas de los vértices de los focos y la excentricidad.

Ecuación de la elipse
Si el centro de la elipse C(x0,y0) y el eje principal esparalelo a OX, los focos tienen de coordenadas F(X0+c, y0) y F'(X0-c, y0). Y la ecuación de la elipse será:

Al quitar denominadores y desarrollar seobtiene, en general, una ecuación de la forma:

Donde A y B tienen el mismo signo.

Ejemplos
Hallar la ecuación de la elipse de foco F(7, 2), de vérticeA(9, 2) y de centro C(4, 2).

Dada la elipse de ecuación , hallar su centro, semiejes, vértices y focos.

Ecuación de eje vertical de la elipse
Si elcentro de la elipse C(x0,y0) y el eje principal es paralelo a OY, los focos tienen de coordenadas F(X0, y+c) y F'(X0, y0-c). Y la ecuación de la elipse será: