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Ejercicios Resueltos: Estimaci´on de ecuaciones simult´aneas
Rom´an Salmer´on G´omez
Universidad de Granada
2011
1. Consideremos el modelo de ecuaciones simult´
aneas dado por las dos ecuaciones siguientes:
Y1t

=

α0 + α1 Y2t + α2 X1t + α3 X2t + α4 X3t + u1t ,

Y2t

=

β0 + β1 X3t + β2 X4t + u2t ,

donde:
Y1 es el consumo familiar mensual (medido en miles de euros).
Y2 es la renta familiarmensual (medida en miles de euros).
X1 es una variable ficticia que toma el valor 1 si la familia en cuesti´
on tiene alg´
un
tipo de deuda y 0 en otro caso.
X2 es el n´
umero de hijos de cada familia.
X3 es el n´
umero de individuos de la familia que trabajan.
X4 es el nivel de estudios de los trabajadores de cada familia.
Aborde la estimaci´
on de dichas ecuaciones a partir de la siguienteinformaci´
on muestral
obtenida a partir de 16 observaciones:

Y1
Y2
cte
X1
X2
X3
X4

Y1
63’39

Y2
94’44
147’26

cte
29’9
46’2
16

X1
21’3
30’2
11
11

X2
40
56’2
18
14
36

X3
47’6
73’1
24
15
30
40

X4
54’3
84’1
28
19
33
42
60

Puesto que la renta familiar aparece al mismo tiempo como explicada (segunda ecuaci´on) y explicativa
(primera ecuaci´
on), es evidente que nos encontramos ante un modelo de ecuacionessimult´aneas.
En dicho modelo podemos distinguir dos variables end´ogenas (consumo y renta) y cinco ex´
ogenas
(constante, deuda, hijos, trabajadores y estudios).
Para obtener la forma estructural del ejemplo anterior pasamos todas las variables a un miembro:
−Y1t + α0 + α1 Y2t + α2 X1t + α3 X2t + α4 X3t + u1t

=

0,

−Y2t + β0 + β1 X3t + β2 X4t + u2t

=

0,

1

las cuales reescribimosmatricialmente obteniendo la forma estructural del modelo:


α 0 β0
 α2 0 


−1 0
α3 0 
(Y1t Y2t ) ·
+ (1 X1t X2t X3t X4t ) · 

 + (u1t u2t ) = (0 0),
α1 −1
 α 4 β1 
0 β2
donde identificamos
ytT = (Y1t Y2t ),

Γ=

xTt = (1 X1t X2t X3t X4t ),

α0
 α2

−1 0
, B=
 α3
α1 −1
 α4
0

La forma reducida, ytT = xTt Π + vtT , se expresa como:



(Y1t Y2t ) = (1 X1t X2t X3t X4t ) · 



α0 + α1β0
α2
α3
α4 + α1 β1
α1 β2

uTt = (u1t u2t ),


β0
0
0
β1
β2



.



β0
0
0
β1
β2




 + (v1t v2t ),



ya que

−1

Π = −BΓ



= −



α0
α2
α3
α4
0

β0
0
0
β1
β2






·



−1
−α1

0
−1



=



α0 + α1 β0
α2
α3
α4 + α1 β1
α1 β2

β0
0
0
β1
β2




.



Es decir, hemos expresado las variables end´ogenas en funci´on de las predeterminadas:
Y1t

=

(α0 + α1 β0 ) + α2X1t + α3 X2t + (α4 + α1 β1 )X3t
+α1 β2 X4t + v1t ,

Y2t

= β0 + β1 X3t + β2 X4t + v2t .

Como paso previo, y necesario, a la estimaci´on de las ecuaciones vamos a identificar las mismas.
Para identificarlas bajo restricciones de nulidad ser´a necesario conocer la matriz:


−1 0
 α1 −1 


 α0 β0 


Γ
A=
=
α2
0 

.
B
 α3

0


 α4 β1 
0
β2
Adem´
as, es claro que N = 2 y k = 5. Parala primera ecuaci´on se tiene que:
A1 = β2 −→ rg(A1 ) = 1 = N − 1,

2

N1 = 2 −→ N1 − 1 = 1
k1 = 4 −→ k − k1 = 1

−→ k − k1 = N1 − 1.

Mientras que para la segunda:



−1
A2 =  α2  −→ rg(A2 ) = 1 = N − 1,
α3
N2 = 1 −→ N2 − 1 = 0
k2 = 3 −→ k − k2 = 2

−→ k − k2 > N2 − 1.

Es decir, la primera ecuaci´
on es exactamente identificada y la segunda sobreidentificada.
De igual forma se podr´ıanidentificar las ecuaciones mediante restricciones de linealidad puesto que las
restricciones de nulidad son un caso particular de ´estas.
Para la primera ecuaci´
on:
Φ1 = (0 0 0 0 0 0 1) −→

rg(Φ1 ) = 1 = N − 1
.
Φ1 A = (0 β2 ) → rg(Φ1 A) = 1 = N − 1

Mientras que para la segunda:

1 0
Φ2 =  0 0
0 0


0 0 0 0 0
0 1 0 0 0  −→ rg(Φ2 ) = 3 > 1 = N − 1,
0 0 1 0 0


−1 0
Φ2 A =  α2 0  → rg(Φ2 A) =1 = N − 1.
α3 0

Es decir, como no pod´ıa ser de otra forma, la primera ecuaci´on es exactamente identificada y la segunda
sobreidentificada.
Puesto que la primera ecuaci´
on es exactamente identificada, el m´etodo id´oneao para su estimaci´
on es
el de m´ınimo cuadrados indirectos.
En tal caso, habr´
a que estimar en primer lugar la forma reducida
Π = XT X

−1

XT y,

para luego plantear el...