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El límite de una sucesión es uno de los conceptos más antiguos del análisis matemático. El mismo da una definición rigurosa a la idea de una sucesión que se va aproximando hacia un punto llamado límite. Si una sucesión tiene límite, se dice que es una sucesión convergente, y que la sucesión converge o tiende al límite. En caso contrario, la sucesión es divergente.
La definición significa queeventualmente todos los elementos de la sucesión se aproximan tanto como queramos al valor límite. La condición que impone que los elementos se encuentren arbitrariamente cercanos a los elementos subsiguientes no implica, en general, que la sucesión tenga un límite (Véase sucesión de Cauchy).
Qué se entiende por próximo da lugar a distintas definiciones de límite dependiendo del conjunto donde se hadefinido la sucesión.
El límite de una sucesión es el número al cual se van aproximando los términos de una sucesión.
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a1= 1
a2= 0.5
a1000= 0.001
a1000 000 = 0.000001
El límite es 0.
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a1= 0.5
a2= 0.6666....
a1000= 0.999000999001
a1000 000 = 0.999999000001
El límite es 1.
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a1= 5
a2= 7
a1000= 2 003
a1000 000 = 2 000 003
Ningún número sería el límite de estasucesión, el límite es ∞.
Límite finito de una sucesión
Una sucesión an tiene por límite L si y sólo si para cualquiera número positivo ε que tomemos, existe un término ak, a partir del cual todos los términos de an, siguientes a ak cumplen que |an−L| < ε.
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La sucesión an = 1/n tiene por límite 0.
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Se puede determinar a partir de que término de la sucesión, su distancia a 0 es menor que unnúmero positivo (ε), por pequeño que éste sea.
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Como k>10 a partir del a11 se cumplirá que su distancia a 0 es menor que 0.1.
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Vamos a determinar a partir de que término la distancia a 0 es menor que 0.001.
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A partir del a1001 se cumplirá que su distancia a 0 es menor que 0.001.
También podemos definir el límite de una sucesión mediante entornos:
Una sucesión antiene por límite L si y sólo si para cualquier entorno de L que tomemos, por pequeño que sea su radio ε, existe un término de la sucesión, a partir del cual, los siguientes términos pertenecen a dicho entorno.
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Límite infinito de una sucesión
Una sucesión an tiene por límite +∞ cuando para toda M>0 existe un término ak, a partir del cual todos los términos de an, siguientes a ak cumplen quean> M.
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El límite de la sucesión an= n2 es +∞.
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ...
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Si M es igual a 10 000, su raíz cuadrada es 100, por tanto a partir de a101 superará a 10 000.
a101= 1012 = 10 201
El intervalo (0,1) tiene como puntos de acumulación al intervalo [0,1].
Un conjunto finito no tiene puntos de acumulación (hay que tener en cuenta que siempre hablamos de números reales (ocomplejos, o incluso de racionales en un intervalo en el que sepamos con seguridad que no hay irracionales), pues no tendría sentido hablar del concepto "infinitamente próximo" con los números enteros por ejemplo.
El conjunto de puntos de acumulación en Q es igual al de R, ya que Q es denso en R.
N no tiene punto de acumulación. Por lo tanto, cada punto en N es aislado.

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Este conjunto seaproxima a -1 y 1 y según tengo anotado ambos son los únicos puntos de acumulación que posee el conjunto. Ahora bien, ¿cómo sé tal cosa? un punto de acumulación es un punto que si hago una bola centrada en dicho punto debe contener otro punto que sea del conjunto sin contarse a sí mismo pero ¿el radio de esta bola cual es? ¿infinitésimo? Porque si no fuese así ¿todos los puntos serían deacumulación no? Pero si la respuesta es infinitésimo, ¿A caso no hay un irracional entre 2 racionales? Pues si este conjunto tan sólo posee racionales, ¿Cómo afirmar que -1 y 1 lo son? Pues el primer elemento después de ellos sería un irracional antes que un racional del conjunto y por tanto no podría serlo no?[pic] La verdad que estoy hecho un lío.

Por otra parte, esto duda de los irracionales es...