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EXPERIMENTOS FACTORIALES
COMPLETOS



CONTENIDO


1. Diseño factorial de dos factores




2. Diseño factorial de dos factores



3. Comparaciones múltiples
1. Diseño factorial completo de 2 factores
Ul ingeniero decide probar los tres materiales de la cubierta, único factor controlable a tres niveles de temperatura (15, 70 y 125°F) consistentes en el entorno de uso final del producto. Se prueban cuatro baterías a cada combinación de material de la cubierta y temperatura, y las 36 pruebas se ejecutan al azar.

En la tabla 1 se presentan el experimento y los datos resultantes de duración observada de las baterías.

En este problema, el ingeniero desea contestar las siguientes preguntas:

1. ¿Qué efecto tienen eltipo de material y la temperatura sobre la duración de la batería?
2. ¿Existe una elección del material que dé por resultado una duración uniformemente larga sin importar la temperatura?

Tipo de material
Temperatura F

15
70
125
1
130
155
34
40
20
70

74
180
80
75
82
58
3
150
188
126
122
25
70

159
126
106
115
58
45
3
138
110
174
120
96
104

168160
150
139
82
60

Tabla 1. Duración en horas para el ejemplo del diseño de una batería
Esta última pregunta reviste particular importancia. Existe la posibilidad de hallar un material que no sea muy afectado por la temperatura. De ser así, el ingeniero puede hacer que la batería sea robusta a la variación de temperatura en el campo. Éste es un ejemplo del uso del diseño experimentalestadístico para el diseño de un producto robusto (o consistente), un importante problema de ingeniería.

Este diseño es un ejemplo específico del caso general de un diseño con dos factores (bifactorial). Para pasar al caso general, sea Yijk la respuesta observada cuando el factor A se encuentra en el i-ésimo nivel (i -1, 2,..., n). En general, los datos observados se verán como en la tabla 2. El ordenen el cual se toman las abn observaciones es aleatorio, de modo que éste es un diseño completamente aleatorizado.












Tabla 2. Disposición general para un diseño bifactorial

Las observaciones pueden describirse mediante el modelo estadístico lineal:


En donde  es el efecto medio general, i es el efecto del i-ésimo nivel del factor renglón A, j es el efecto delj-ésimo nivel del factor columna B, ()ij es el efecto de la interacción entre i y j, ijk es el componente del error aleatorio. Inicialmente se supone que ambos factores son fijos y que los efectos de tratamiento se definen como desviaciones de la media general, por lo tanto. Se supone que los efectos de interacción son fijos y que se definen dé manera que: . Hay un total de abn observacionesporque se realizan n réplicas.

En un diseño factorial de dos factores, tanto los factores (o tratamientos) de renglón como de columna tienen la misma importancia, específicamente el interés consiste en probar hipótesis acerca de la igualdad de los efectos de tratamiento de renglón, es decir:



Y de la igualdad de los efectos de tratamiento de columna:



También es interesantedeterminar sí los tratamientos de renglón y columna interaccionan. En otras palabras, resulta conveniente probar:


A continuación, se muestra cómo pueden probarse estas hipótesis usando un análisis de variancia bifactorial o bidireccional (de dos factores o en dos sentidos).

Análisis Estadístico del Modelo de Efectos Fijos

Sea Yi..; el total de las observaciones bajo el i-ésimo nivel delfactor A; Y.j. El total de las observaciones bajo el j-ésimo nivel del factor B, Yij. El total de las observaciones de la ij-ésima celda, e Y... el total general de todas las observaciones. Se definen como los promedios de renglón, columna, celda y general, respectivamente, matemáticamente:



La suma total de cuadrados corregida puede expresarse mediante:



Porque los seis productos...