Econofisica

Universit` degli Studi di Bari a Facolt` di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali a Master di Io livello in Metodi quantitativi e informatica a supporto delle decisioni economiche

Nicola Cufaro Petroni

Econofisica
Finanza e processi stocastici

anno accademico 2004/05

Copyright c 2005 Nicola Cufaro Petroni Universit` degli Studi di Bari a Facolt` di Scienze Matematiche, Fisiche eNaturali a via E.Orabona 4, 70125 Bari

Indice
1 Introduzione 1.1 Sviluppo storico . . . . . . . . 1.2 Random walk . . . . . . . . . 1.2.1 Binomiale e Gaussiana 1.2.2 Binomiale e Poisson . . 1.2.3 Lognormale . . . . . . 3 3 3 4 8 8 9 9 13 15 16 21 21 24 24 29 29 35 38 40

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2 Richiami di robabilit` e processi stocastici a 2.1 Probabilit` . . . . . . . . . . . . . . . . . a 2.2 Processi stocastici . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Martingale . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Processi di Markov . . . . . . . . . 2.3 Calcolo stocastico . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1Integrale stocastico . . . . . . . . . 2.3.2 EDS e formula di Itˆ . . . . . . . . o 2.4 Movimento browniano libero . . . . . . . .

3 Modelli finanziari 3.1 Nozioni iniziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Teoria di Black–Scholes . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Soluzione dell’equazione di Black–Scholes 3.3 Oltre il movimento Browniano geometrico . . .

1

N. Cufaro Petroni:Econofisica

INDICE

2

Capitolo 1 Introduzione
1.1 Sviluppo storico

Il calcolo delle probabilit`1 nasce nel XVII secolo per risolvere problemi di gioco a d’azzardo: de M´r´ (1607–1684), Pascal (1632–1662), Fermat (1601–1665). Prime ee trattazioni sistematiche: De ratiociniis in ludo aleae di Huygens (1629–1695) e Ars conjectandi (1713 postumo) di Jakob Bernoulli (1662–1705). Primi usi per ladescrizione della finanza: Th´orie de la sp´culation (1900) Tesi di Louis Bachelier (1870– e e 1946). Conteneva le prime idee per la descrizione del Movimento Browniano (MB): fenomeno osservato (1827) da Robert Brown e compiutamente descritto a partire dal 1905 da Einstein (1879–1955) e Smoluchowski (1872–1917), sulla base dei risultati della meccanica statistica elaborata da Maxwell (1931–1879) eBoltzmann (1844– 1906) a partire dai lavori di Daniel Bernoulli (1700–1792). Il problema del random walk ` stato posto inizialmente da Lord Rayleigh (1842–1919) e successivamente nel e 1905 da Karl Pearson (1857–1936).

1.2

Random walk

Supponiamo di avere a disposizione una successione v.a. di Bernoulli B(1, p) indipendenti 1, con probabilit` p, a Zi = i = 1, 2, . . . 0, con probabilit` q =1 − p, a con attesa E(Zi ) = p e varianza Var(Zi ) = p q. Assegnato un arbitrario numero intero n le somme
n

R=
i=1
1

Zi

Le seguenti note sono tratte dal volume W. Paul and J. Baschnagel, Stochastic Processes: from Physics to Finance, Springer 1999, al quale si riferiranno anche le eventuali citazioni.

3

N. Cufaro Petroni: Econofisica assumono i valori interi r = 0, 1, . . . ncon legge Binomiale B(n, p) P{R = r} = pn (r) = per cui risulta anche E(R) = µR = np ,
2 Var(R) = σR = np q .

n r n−r pq r

(1.1)

1.2.1

Binomiale e Gaussiana
R − E(R) R − np = √ np q Var(R)

Per enunciare il TLC introduciamo le somme standardizzate W = con valori (non interi)

r − np w= √ np q ∆w = √ 1 np q

tutti equidistanti con

Il TLC (le ipotesi sono verificate dato che...