Economía

| UNIVERSIDAD DE LOS ANDESFACULTAD DE ECONOMIAECON 3301 Econometría 2Complementario: Jorge Armando RuedaCamilo Matajira 200724514Carlos Bejarano 200916790 |
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Taller 1
PARTE TEÓRICA

Punto 1

Partimos de la definición de la matriz de covarianza del vector beta.
En las siguientes ecuaciones se asume que tanto la varianza como el valoresperado se toman condicional a X.
Varβ=E[(β-Eβ)[β-Eβt]
Recordamos que
β-β=XtX-1Xtϵ
Por lo tanto
E[β-Eββ-Eβt=E[XtX-1XtϵϵtXXtX-1]
XtX-1XtEϵϵtXXtX-1=[XtX-1Xt(σ2I)XXtX-1]
=σ2XtX-1
Mirando la composición de estas matrices observamos que:
X=1x11x21x3
Xt=111x1x2x3
XtX=nΣxiΣxiΣxi2
det⁡(XtX)=nΣxi2-ΣxiΣxi
La inversa de una matriz 2x2
XtX-1=1detXtXΣxi2-Σxi-Σxin
XtX-1=1nΣxi2-ΣxiΣxiΣxi2-Σxi-ΣxinAhora, como σ2XtX-1 es la matriz de varianzas y covarianzas de los betas, la covarianza entre B0 y B1 está dada por los elementos [1,2] o [2,1] de dicha matriz.
covα, β=σ2XtX[1,2]-1
covα, β=-σ2ΣxinΣxi2-ΣxiΣxi
Dividimos numerados y denominador entre “n”, y recordando la expansión de Σxi-x2
covα, β=-σ2xΣxi-x2
Y esto completa la demostración.
Punto 2

x=xi
z=zi
Varαxz= σe2x-x2(1-rx z2)Partiendo de la definición del estimador se tiene:

α1= x-xyi-yz-z2-z-zyi-yx-xz-zx-x2z-z2-x-xz-z2
Al remplazar yi-y del modelo poblacional se tiene:
yi-y = β0+β1x+μi-(β0+β1x+μ)
=β1x-x+( μi-μ)

α1= x-xβ1x-x+( μi-μ)zi-z2-z-zβ1x-x1+( μi-μ)x-x1zx-x2z-z2-x-xz-z2
α1= β1x-x2z-z2-β1z-zx-x2x-x2z-z2-x-xz-z2
+ x-x μi-μz-z2-z-z μi-μx-xzx-x2z-z2-x-xz-z2

α1=β1+ x-x μi-μ z-z2-z-zμi-μx-xzx-x2z-z2-x-xz-z2

α1=β1+ xμi-nxμz-z2-(zμi-nzμ)x-xzx-x2z-z2-x-xz-z2

α1=β1+ xμiz-z2 -nxμz-z2-zμix-xz+nzμx-xzx-x2z-z2-x-xz-z2

α1+nxμz-z2+zμix-xzx-x2z-z2-x-xz-z2=β1+ xμiz-z2 -nxμz-z2-zμix-xz+nzμx-xzx-x2z-z2-x-xz-z2

Varα1+nxμz-z2+zμix-xzx-x2z-z2-x-xz-z2=Varβ1+ xμiz-z2 +nzμx-xzx-x2z-z2-x-xz-z2

Como α1 es una combinación lineal de las X y, por lo tanto, es perpendicular a los residuales, Covα1,ei=0.Además Covej,ei≠0;∀i, i≠j.
Asumiendo que Covβ1,ei=0, ya que β1 es una constante

Varα1+ Varzμix-xzx-x2z-z2-x-xz-z2+Varnxμx-xzx-x2z-z2-x-xz-z2=Varβ1+Varxμiz-z2x-x2z-z2-x-xz-z2+Varnzμx-xzx-x2z-z2-x-xz-z2
Al definir ϑ=x-x2z-z2-x-xz-z2 y Por las propiedades de la varianza se tiene:
Varα1+ Varzμi x-x1z2ϑ2+Var(nxμ) z-z22ϑ2=Var(xμi) z-z22ϑ2+Varnzμx-xz2ϑ2
Varα1+ Var( zμi)x-xz2ϑ2+n2x2Var(ei)n22z-z22ϑ2=Var( xμi)z-z22ϑ2+n2z2Var(ei)n2x-xz2ϑ2
Varα1+ z2σe2x-xz 2ϑ2+x2σe2z-z22ϑ2= x2σe2z-z22ϑ2+z2σe2x-xz2ϑ2


Varα1+ z2σe2 x-xz2ϑ2+x2nσe2z-z22ϑ2= x2σe2z-z22ϑ2+z2nσe2x-xz2ϑ2
Varα1= x2σe2z-z22ϑ2-nx2σe2z-z22ϑ2-z2σe2x-xz2ϑ2+nz2σe2x-xz2ϑ2
Al factorizar σe2 se tiene:
Varα1=σe2x2-nx2*z-z22ϑ2+-z2+nz2*x-xz2ϑ2
Al factorizar un (-) de la parte derecha del lado derecho de la ecuación y x2i-x22, se tiene:Varα1=σe2x2-nx12*z-z22ϑ2-z2-nz2*x-xz2ϑ2
Varα1=σe2x-x2*z-z22ϑ2-z-z2*x-xz2ϑ2
Varα1=x-x2*z-z2ϑ2-x-xz2ϑ2σe2z-z2
Varα1=x-x2z-z2-x-xz2x-x2z-z2-x-xz-z22σe2z-z2

Varα1=σe2z-z2x-x2z-z2-x-xz-z2
Al dividir el numerador y denominador por x-x2z-z2 se tiene:
Varα1=σe2z-z2x-x2z-z2x-x2z-z2x-x2z-z2-x-x1z-z2x-x2z-z2
=σe2x-x21-x-xz-z2x-x2z-z2
Por definición se tiene que rxz2=x-xz-z2x-x2z-z2 Correspondienteal coeficiente de correlación entre x y z al cuadrado.
Varα1=σe2x-x21- rx,z21
Varα1= σe2x1i-x12(1-rxz2)

Vemos que la varianza del estimador anterior es igual al estimador encontrando bajo el cumplimiento de todos los supuestos de MCO si ρxz=0 , a menos que pase esto el estimador no es eficiente pues sabemos que -1≤ρxz≤1 entonces
0≤ρxz2≤1 Lo que implicaría que a menos que no se cumpla lomencionado anteriormente el denominador será menor y la varianza del estimador se incrementara dejando de ser de mínima varianza y por lo tanto no seria eficiente.
Punto 3

Se parte de la definición de α1. Por simplicidad vamos a trabajar con variables centradas.
α1 = ziyizi2
Remplazamos “y” por el modelo verdadero.
α1 = zi(β0+β1zi+β2zi2+ut)zi2
α1 =β0zi+β1zi2+β2zi3+ziutzi2
Recordamos...