Econome

PROBLEMA 1.
Suponga que cuenta con una variable aleatoria X, de la cual posee n observaciones y sabe que la media muestral es igual a m y que la varianza muestral es igual a s2.PARTE I.

Suponga que se define una variable aleatoria Z= (X- m)/s. Muestre que M(Z)=0 y que S(Z)=1.

Sea X={x_1,x_2 ┤,…,├ x_n }

Entonces la Media Muestral de X con nobservaciones corresponde a:

M(X)=m=∑_(i=1)^n▒x_i/n, y la varianza S^2=(∑_(i=1)^n▒〖(x_i- m)〗^2 )⁄n .

Sea entonces Z={(X_1- m)/s,(X_2- m)/s┤,…,├ (X_n- m)/s}

Entonces,M(Z)=∑_(i=1)^n▒((├ X_i- m)┤/n)⁄s

M(Z)=1/s ∑_(i=1)^n▒(├ X_i- m)┤/n

M(Z)=1/s ├ (∑_(i=1)^n▒X_i/n┤ -∑_(i=1)^n▒m/n)

M(Z)=1/s ├ (m┤ -m)

M(Z)=1/s (├ 0)┤

Entonces M(Z)= 0, sí y sólo sís≠0. En otras palabras ssi s2 ≠ 0. Como n≠0. Nos basta por demostrar que:

∑_(i=1)^n▒(x_i- m)^2/n≠0
Como esta sumatoria sólo corresponde a sumas de números positivos la únicaforma en que sea igual a cero es qué:

{├ ∀ x_i,i ϵ ℵ /1≤i≤n,x_i=m}┤

Por lo tanto se cumple que M(Z)=0 mientras se cumpla que:

{├ ∀ x_i,i ϵ ℵ /1≤i≤n,x_i≠m}┤

Ahorademostraremos que S(Z)=1

Sabemos que
S^2 (Z)=(∑_(i=1)^n▒├ (z_i ┤-M(Z))^2 )/n
De la primera parte sabemos que M(Z)=0, entonces;

S^2 (Z)=(∑_(i=1)^n▒├ (z_i ┤)^2 )⁄n
S^2 (Z)=1/n∑▒〖z_i〗^2

S^2 (Z)=1/n ∑▒〖z_i〗^2

Pero
Z_i=((x_i-m))/s
Entonces,


S^2 (Z)=1/n ∑▒〖((x_i-m))/s^2 〗^2

Pero sabemos por la definición anterior que,


S^2=(∑_(i=1)^n▒〖(x_i- m)〗^2)⁄n
Entonces tenemos que,

S^2 (Z)=s^2/s^2

S^2 (Z)=1
Por lo tanto,
S(Z)=S^2 (Z)=1

 
PROBLEMA 2.

PARTE I.

Construya una tabla de frecuencia de la variable Días deHospitalización, en forma separada para pacientes Institucionales y Privados. Defina 6 intervalos para hacer la tabla: 1 a 2, 3 a 4, 5 a 7, 8 a 11, 12 a 14, 15 y más.