Economia

C´lculo estoc´stico aplicado a las finanzas: a a Precio de las opciones seg´n el modelo u Black–Scholes–Merton y algunas generalizaciones
Juan MARGALEF–ROIG∗ y Salvador MIRET–ARTES∗
Instituto de Matem´ticas y F´ a ısica Fundamental (IMAFF) Consejo Superior de Investigaciones Cient´ ıficas (CSIC) Serrano 123, 28006 Madrid, Espa˜a n margalef@imaff.cfmac.csic.es s.miret@imaff.cfmac.csic.es

Dedicadoal Profesor Enrique Outerelo Dom´nguez. ı ABSTRACT
In this work, the Black–Scholes–Merton (BSM) theory to assign prices to options on shares is presented. A first generalization of this model consists of allowing that the drift (µ), the volatility (σ) and the interest rate (r) can be variables. In other words, we pass from the diffusion model dSt = µSt dt + σSt dWt with initial condition S0 , andµ, σ, and r constants to the diffusion model dξit = bi (t, ξ1t , . . . , ξnt )dt + p σij (t, ξ1t , . . . , ξnt )dWtj with initial conditions j=1 ηi (i = 1, 2, . . . , n) and interest rate r(t, x). The class of semimartingales and the stochastic integral of predictable and locally bounded processes with respect to semimartingales allow a very general modelization of the financial markets. En estetrabajo se expone la teor´ de Black–Scholes–Merton (BSM) para ıa asignar precio a las opciones sobre acciones. Una primera generalizaci´n de este o modelo consiste en permitir que la deriva, µ, la volatilidad, σ, y el tipo de inter´s, e r puedan ser variables, es decir, se pasa del modelo con difusi´n dSt = µSt dt + o σSt dWt con condici´n inicial S0 , y µ, σ constantes y tipo de interes r constante oal modelo con difusi´n dξit = bi (t, ξ1t , . . . , ξnt )dt + p σij (t, ξ1t , . . . , ξnt )dWtj o j=1 con condici´n inicial ηi (i = 1, 2, . . . , n) y tipo de inter´s r(t, x). La clase de las o e semimartingalas y la integral estoc´stica de procesos previsibles y localmente a acotados respecto a semimartingalas permiten una modelizaci´n muy general o de los mercados financieros.
trabajo ha sidofinanciado por el Ministerio de Ciencia y Tecnolog´ mediante los proyectos ıa BFM2003-00825 y BFM2001-2179.
∗ Este

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J. Margalef–Roig y S. Miret–Art´s e

Precio de las Opciones

2000 Mathematics Subject Classification: 60G07,60H30,91B24 Key words: Procesos estoc´sticos, ecuaciones diferenciales estoc´sticas, precio de las a a opciones, teor´ de Black–Scholes–Merton, semimartingalas,integraci´n con semimarıa o tingalas, modelos financieros generales. 1. Introducci´n o L. Bachelier en 1900 fue el primero en describir el precio de las acciones financieras mediante el movimiento Browniano [1]. Suponiendo que el precio de las acciones es una expresi´n lineal del movimiento Browniano con deriva, lleg´ a asignar precio a o o algunas opciones cotizadas en Francia en aquella ´poca yestableci´ comparaciones e o con el mercado real. El modelo que desarroll´ tiene un activo sin riesgo B = (Bt )t≤T , que cumple o Bt ≡ 1, y un activo con riesgo (una acci´n de precio St ) que cumple St = S0 + µt + o σWt , t ≤ T , donde (Wt )t≥0 es un movimiento Browniano est´ndar en un espacio a de probabilidad (Ω, F, P ) y T es la fecha de vencimiento de la opci´n y µ y σ son o constante reales querepresentan la deriva y la volatilidad, respectivamente. Naturalmente St puede ser negativo lo que no refleja bien la vida real. Sin embargo, el modelo no admite arbitrajes y es completo (se pueden replicar las opciones). Aparte de los resultados financieros, Bachelier desarroll´ un importante estudio o matem´tico del movimiento Browniano y todo ello cinco a˜os antes de la publicaci´n a n o del famosotrabajo de Einstein [7]. En 1944, Itˆ se inspir´ en este trabajo de Bachelier o o para introducir su c´lculo estoc´stico y el movimiento Browniano geom´trico St = a a e e o S0 exp[(µ − σ 2 /2)t + σWt ] [11]. Este movimiento Browniano geom´trico se revel´ muy importante para modelizar los mercados financieros, asignando concretamente St como precio de la acci´n. P. A. Samuelson desarroll´, desde...