Economia

1

III.Modelo de Ramsey A. El control óptimo
1. Método para solucionar problemas de maximización a través del tiempo 2. Objetivo a) El agente elige las trayectorias óptimas de tiempo de unas variables de control para maximizar una función objetivo como una función de utilidad o de beneficio. En los modelos de esta clase, la variable de control, típicamente, es consumo. b) Sujeto a variasrestricciones que son dinámicas en el sentido que describen la evolución de la economía. (1) Unas restricciones describen los comportamientos de unas variables, se denominan variables de estado. La variable de estado siempre tiene un ‘puntito’ encima de la variable. El puntito significa la derivada respecto a tiempo de la variable
dx = x. & dt

(2) Otras restricciones pueden describir los valoresiniciales y finales (depende del problema) de la variable de estado.

2

3. Ejemplo general de tiempo finito, T es el último momento. Max V (0) = ∫ u (ct , k t , t )dt
ct 0 T

& k t = g (k t , ct , t )

a) Sujeto a k o = k
k T e − rT T ≥ 0

b) Explicación (1) El consumidor elige la trayectoria de ct , la variable de control, para maximizar su utilidad a través el periodo 0-T, V(0). (2)La función instantánea de utilidad es u(). (3) Las restricciones. (a) k es la variable de estado y la evolución de k es función de k, c, y tiempo t. Se denomina esta restricción la ecuación de transición o ecuación de movimiento de k. (b) La segunda restricción muestra el valor inicial de k. k está dada (c) La última restricción indica que el valor de capital en el último momento no es negativo.rT es la tasa de descuento en el último momento (i) Si T es finito implica que k T ≥ 0 . Prohíbe los juegos de Ponzi. (ii) Si T es infinito la restricción −r T lim kT e T ≥ 0 implica que
T →∞

negativo, o cero.

e − rT T → 0 así kT puede ser positivo,

3

4. Solucionar el problema-cinco pasos. Caso de una variable de estado, una variable de control a) Identifica las variables de estado yde control (1) Variable de control, c. (2) Variable de estado, k. (siempre con un puntito) b) Escribe el Hamiltoniano (1) H (ct , k t , t ,ν t ) ≡ u (ct , k t , t ) + ν t g (k t , ct , t ) (2) νt (nu) es un multiplicador de Lagrange por cada momento t. Hay uno por cada momento. (3) En este caso tenemos una variable de control y una variable de estado c) Toma la derivada del Hamiltoniano conrespecto de la variable de control y pone igual a cero.
∂g ∂H ∂u ≡ +ν = 0 . Eliminamos el subíndice ∂c ∂c ∂c

para simplificar la notación. d) Toma la derivada del Hamiltoniano con respecto a la variable de estado y pone igual al negativo del derivado del multiplicador con respecto a tiempo.
∂H ∂u ∂g ≡ +ν = −ν & ∂k ∂k ∂k

e) La condición de transversalidad-multiplica la variable de estado por elprecio implícito de capital (multiplicador de Lagrange) en el momento terminal y pone igual a cero (1) T finito ν T k T = 0 (2) T infinito limν t k t = 0
t →∞

(3) Nótense en estos dos casos, uno de dos resultados debe pasar.

4

(a) El precio implícito de capital en el periodo final (o limite, si T es infinito), νT, es cero o (b) La cantidad de capital en el periodo final (o limite, si Tes infinito) es cero (4) Caso especial. Si la función objetivo no tiene tasa de descuento lim H t = 0 es la
t →∞

condición de transversalidad. 5. Ejemplo específico-decisión de una persona, se llama Bonnie. a) Bonnie produce un bien. (1) El bien tiene dos usos posibles. (a) Puede consumir, c, el bien o ahorrar (invertir) el bien. (b) Si ahorra, el bien es capital. (2) No se puede consumircapital, es decir la decisión de invertir es irreversible. (3) Supongamos que la tasa de depreciación es positivo, pero no hay crecimiento de la población ni tecnología..

5

b) Función instantánea de utilidad con tasa de descuento, ρ u (⋅) = e
⇒ Max V (0) = ∫ e
ct 0 ∞
1 −θ − ρt c t

−1

1 −θ −1 − ρt ct

1−θ

1−θ

dt Nótense en este caso, u

no es función de k. 0 < θ
& c)...