Economia

Funciones, Límites, Continuidad y Derivadas de una y mas variables
Miguel Ataurima Arellano Octubre 2011

"(...) los buenos economistas o simplemente competentes escasean como los pájaros más exóticos (...) un economista tiene que alcanzar un nivel elevado en diferentes direcciones y debe reunir talentos que no se encuentran juntos. Debe ser un matemático, historiador, estadista, y …lósofohasta cierto punto. Debe comprender los símbolos y hablar con palabras. Debe contemplar aspectos particulares en relación con un todo, abordar conjuntamente lo abstracto y lo concreto. Debe estudiar el presente en función del pasado y pensando en el futuro. Ningún aspecto de la naturaleza humana o de sus instituciones debe pasar inadvertido a su curiosidad observadora. Debe simultanear la voluntad deacción con la neutralidad; debe ser elevado e incorruptible como un artista y estar a veces tan cerca del suelo como un político" –Jhon Maynard Keynes

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Funciones

De…nición 1.1 Una función f de n variables reales x1 ; x2 ; : : : ; xn con dominio Df Rn que asigna un numero real especí…co f (x1 ; x2 ; : : : ; xn ) a cada n-tupla (x1 ; x2 ; : : : ; xn ) 2 Df se denomina función real devariables reales y su notación es f : Df Rn ! Rf R

donde Df y Rf denotan el Dominio (conjunto de todos los puntos (x1 ; x2 ; : : : ; xn ) admisibles por f ) y el rango (conjunto de todos los valores resultantes de evaluar f en (x1 ; x2 ; : : : ; xn )) de la función f ; o sea Df Rf = fx 2 Rn : 9y 2 Rn : y = f (x1 ; x2 ; : : : ; xn )g = fy 2 R : 9x 2 Df : y = f (x1 ; x2 ; : : : ; xn )g

De…nición1.2 (vectorial) Una función f de un vector x = (x1 ; x2 ; : : : ; xn ) 2 Rn con dominio Df Rn que asigna un número real especí…co f (x) a cada vector n dimensional x 2 Df se denomina función real de variable vectorial f : Df Rn ! R la dependencia funcional se representa así y = f (x) De…nición 1.3 (Grá…ca de una función). Sea f : Df Rn ! R f n n+1 como el subconjunto de R R=R formado por los puntosR. De…nimos la grá…ca de f

(x; f (x)) = (x1 ; x2 ; : : : ; xn ; f (x1 ; x2 ; : : : ; xn )) 2 Rn+1 en los que (x1 ; x2 ; : : : ; xn ) es un punto de Df . Simbólicamente Grá…ca de f = (x; f (x)) 2 Rn+1 : x 2 Df

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UNETE - Ciclo Introductorio 2012-I Métodos Cuantitativos

Universidad Nacional Mayor de San Marcos Facultad de Ciencias Económicas

De…nición 1.4 (Curva de nivel)Sea f : Df Rn ! R f R. y sea c 2 R. Entonces, el conjunto de nivel de valor c se de…ne como el conjunto de los puntos x 2 Df en los cuales f (x) = c. Si n = 2, hablaremos de la curva de nivel (de valor c), y si n 3 hablaremos de la super…cie de nivel. Simbólicamente fx 2 Df : f (x) = cg Rn Nótese que el conjunto de nivel siempre está en el dominio de la función.

Por ejemplo, la grá…ca de unafunción Cobb-Douglas z = f (x; y) = x0:5 y 0:5 y de su conjunto de nivel obtenida con MATLAB es:

http://ecounete.blogspot.com ecounete@hotmail.com

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Miguel Ataurima Arellano mataurimaa@economia.unmsm.pe

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UNETE - Ciclo Introductorio 2012-I Métodos Cuantitativos

Universidad Nacional Mayor de San Marcos Facultad de Ciencias Económicas

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Límites
) Se dice que el número Les el límite de una función f (x) cuando
x!x0

lim f (x) = L

si para todo " > 0 existe un número (") > 0 tal que para todo x dentro de una bola abierta B (x0 ; ) de centro x0 y radio > 0, existe una bola B (L; ") de centro L y radio " > 0 en la que se encuentra f (x). Simbólicamente 8" > 0, 9 > 0 : x 2 Df ^ x 2 B (x0 ; ) ) f (x) 2 B (L; ")

2.1

De…nición 2.2 Se dice que el número L esel límite de una función f (x) cuando x ! x0
x!x0

Límite de funciones de una variable f : R ! R
lim f (x) = L

si 8" > 0, 9 > 0 : x 2 Df ^ jx x0 j < ) jf (x) Lj < "

2.2

De…nición 2.3 Se dice que el número L es el límite de una función f (x) cuando x ! x0
x!x0

Límite de funciones de varias variables f : Rn ! R
lim f (x) = L

si ) kf (x) Lk < " p en donde la métrica k k...