economia

M`todes matem`tics
e
a

Grau en enginyeria geom`tica i topografia
a
Dep. Matem`tica Aplicada I
a
EPSEB Universitat Polit`cnica de Catalunya
e

2

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Index
I

Geometria diferencial de corbes i superf´
ıcies

1 Corbes
Coneixements previs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Introducci´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
1.1Funcions vectorials de variable real . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 L´
ımits i continu¨
ıtat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Corbes planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Funcions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Equacions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .
1.2.3 Corbes parametritzades . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.4 Corbes en coordenades polars . . . . . . . . . . . . . .
1.3 El par`metre longitud d’arc . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
1.4 Corbes a R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Vector tangent. Curvatura . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Corbes no parametritzades per l’arc . . . .. . . . . . .
1.5 Curvatura d’una corba d’R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1 Curvatura d’una corba plana parametritzada . . . . . .
1.5.2 Curvatura d’una funci´ . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
1.5.3 La curvatura com a variaci´ de l’angle de conting`ncia
o
e
1.6 Exercicis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7 Tests no resolts . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.1 Curs 2010-11, 2n q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.2 Curs 2011-12, 1n q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.3 Curs 2011-12, 2n q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.4 Curs 2012-13, 1n q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8 Tests resolts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8.1 Curs 2010-11, 2n q .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8.2 Curs 2011-12, 1n q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8.3 Curs 2011-12, 2n q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8.4 Curs 2012-13, 1n q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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38
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45
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48
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50
51
53
55

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INDEX

4
2 Superf´
ıcies
2.1 Introducci´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
2.2 Introducci´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
2.3 Pla tangent i recta normal . . . . .. . . . . . . . . . . .
2.3.1 Superf´
ıcies parametritzades . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Superf´
ıcies donades en forma expl´
ıcita . . . . . .
2.3.3 Superf´
ıcies donades en forma impl´
ıcita . . . . . .
2.4 Parametritzaci´ d’algunes superf´
o
ıcies . . . . . . . . . . .
2.4.1 La superf´ esf`rica. Longitud i latitud . . . . .
ıcie e
2.4.2 Superf´
ıcies de revoluci´ . . . . . . .. . . . . . . .
o
2.5 Primera forma quadr`tica fonamental . . . . . . . . . . .
a
2.5.1 Primera forma quadr`tica fonamental . . . . . . .
a
2.5.2 Longitud d’un arc de corba sobre una superf´
ıcie.
2.5.3 Angle entre dues corbes sobre una superf´
ıcie . . .
2.6 Exercicis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

II

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