economia

Departamento de Lenguajes y Ciencias de la Computación
Universidad de Málaga

Conjuntos y Sistemas Difusos
(Lógica Difusa y Aplicaciones)

4. Números Difusos
y
Probabilidad

E.T.S.I. Informática

J. Galindo Gómez

NÚMEROS DI FUSOS
• Números Difusos: Expresan cantidades aproximadas.
– Correspondencia entre R (números reales) y el intervalo unidad: R → [0,1],
Convexa ypreferentemente de soporte acotado y normalizada.
• Ejemplos: aproximadamente 5, mucho más que 10...
• Los cálculos con números difusos tienen su raíz en el análisis de
intervalos (Moore, 1966) y han sido tratados por muchos autores: Dijkman y
Haeringen, (1983), Dubois y Prade (1979, 1980, 1981), Kaufmann y Gupta (1988)...

• Familia de funciones L (Dubois, Prade, 1980): Funciones de
pertenencia quesatisfacen las siguientes propiedades:
– Simetría: L(x) = L(– x).
– Normalidad: L(0) = 1.
– Convexidad: L(x) es no creciente en el intervalo[0,∞).
• Número Difuso LR A: Construido usando dos funciones L, R ∈ L.
– L se aplica a la izquierda de A (x≤m) y R a la parte derecha (x>m).
– Denotaremos un n
úmero difuso LR como: A = (m, α, β)LR
  m − x
 L α  , si x ≤ m, α > 0

 
A( x ) =
 R x − m  , si x > m, β > 0
  β 

 

donde:

m es el Valor Modal (modal value)
α, β es la Envergadura (spread)
del número, a la izda. y
dcha. respectivamente.
2

1

NÚMEROS DI FUSOS LR

¶

• Ejemplos de Funciones L:

–
–
–
–
–

{

∈ [ 1,1]
¶ L ( x ) = 1,, si xotro−caso
0 en
· L(x)=e – F, F=|x|p, p>0 1
¸ L(x)=máx{0, 1 – |x|p }
¹ L(x)=máx{0, (5–|x|)/5}0
º L(x)=1/(1 + |x|p)
–5

0

–5

¹
¸

·(p=3)
–2 –1 0 1

2

5

º(p=3)

(p=3)

–2 –1 0 1

2

X

5 –5

–2 –1 0 1

2

5

X

• Ejemplos de Números Difusos LR:
– Si L es · y R es º, obtenemos: m=2
 − (m− x)/ α) p
α=1
,
si x ≤ m
e

β=2
A( x ) = 
1
p=1
, si x > m

p

–3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7

X

1 + ( x − m) / β


– Si L es ¶, R es ¹,con m=2, α=1 y β=1 obtenemos:
–3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7

X

3

OPERACI ONES con Números Difusos
• Operaciones Aritméticas: Se basan en el Principio de Extensión
(Mizumoto, Tanaka, 1976), que transforma una operación f
definida sobre dos elementos del Universo U (i.e., en U×U), en otra
operación F definida sobre dos conjuntos difusos de U.
– Si U es la recta real R y tenemos dos númerosdifusos A y B, entonces,
obtenemos el número difuso C: C = F(A, B)
– La función F es la función inducida por f, tal que: F({x}, {y}) = f(x, y).
– Por el Principio de Extensión obtenemos que el número difuso
sup
C( z) =
{ A( x) ∧ B( x)}
resultante se calcula como:
– Resultado: Es otro número difuso. x, y∈R: z = f ( x, y)
• Está normalizado, ya que A y B lo están.
• Tiene su soportelimitado (igual que A y B).
• Para cualesquiera valores a y b, tales que A(a)=1 y B(b)=1:
– Es no creciente en el intervalo [ f(a, b), + ∞].
– Es no decreciente en el intervalo [– ∞, f(a, b)].

Convexo

– Los números difusos triangulares simplifican algunos cálculos.
• Ejemplo: Suma de triángulos: (a,m,b) + (c,n,d) = (a+c, m+n, b+d).

4

Fórmulas para Números Difusos LR

A>0 ⇔ A(x) = 0, ∀x < 0.
A 0.

• Fórmulas Generales para Números Difusos LR: (Dubois, Prade, 1980),
Sean 2 números difusos LR generales M=(m, α, β) LR , N=(n, γ, δ) LR
– Suma:
(m, α, β)LR + (n, γ, δ)LR = (m + n, α+γ, β+δ)LR
– Resta:
(m, α, β)LR – (n, γ, δ)RL = (m – n, α+δ, β+γ)LR
– Opuesto:
– (m, α, β)LR = (– m, β, α)RL (Funciones LR cambiadas)
– Multiplicación y División: Estas fórmulas son“aproximadas” y bajo
la suposición de que la envergadura de los argumentos (α, β) es
pequeña en comparación al valor modal (m) de los números difusos:
• M > 0, N > 0: (m, α, β)LR × (n, γ, δ)LR ≈ (m n, m γ + n α, m δ + n β)LR
• M > 0, N < 0: (m, α, β)LR × (n, γ, δ)LR ≈ (m n, m α – n δ, m β – n γ)LR
• M < 0, N > 0: (m, α, β)LR × (n, γ, δ)LR ≈ (m n, n α – m δ, n β – m γ)LR
• M < 0, N < 0: (m, α, β)LR ×...