economia


Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas de tal forma que puedan resolverse usando operaciones. Aunque hay muchos tipos de métodos numéricos, todos comparten una característica común: llevan a cabo un buen número de tediosos cálculos aritméticos. Es por ello que la computación es una herramienta que nos facilita el uso y desarrollo de ellos.

Engeneral, no es posible determinar los ceros de una función, es decir, valores x* tal que f(x*) = 0, en un número finito de pasos. Tenemos que usar métodos de aproximación. Los métodos son usualmente iterativos y tienen la forma: Iniciando con una aproximación inicial x0 (o un intervalo [a, b]), se calculan aproximaciones sucesivas x1, x2, ... y elegimos xn como aproximación de x* cuando se cumplaun criterio de parada dado. A los ceros de un polinomio se les conoce también como raíces.
En este capítulo veremos los métodos iterativos usuales: bisección, regula falsi, punto fijo, Newton y el método de la secante. Además se incluyen los teoremas de convergencia el análisis del orden de convergencia y, en algunos casos, análisis de las cotas de error. En todo caso, se incluye una sección paraestablecer el criterio de parada de un algoritmo. En general, no usamos estos métodos de manera aislada sino más bien combinada. Por eso se incluyen secciones con métodos híbridos. El método de bisección es muy confiable, pero relativamente lento. Los métodos de Newton y la secante son más veloces, pero no son tan confiables como bisección. Bisección es óptimo para funciones continuas (en general)pero no para funciones derivables o convexas. En este último caso, el método de Newton es veloz, pero necesita el cálculo de la derivada (no todas las funciones derivables tienen derivadas que se pueden expresar en términos de funciones elementales o funciones especiales) y podría colapsar si la derivada toma valores muy pequeños en el proceso. En las funciones obtenidas por interpolación correel riesgo de caer en un ciclo. El método de la secante es veloz y no requiere la derivada, sino una aproximación. Aún así, corre riesgos inherentes al comportamiento de la derivada en las cercanías de la raíz.
El método de Dekker-Brent combina la confiabilidad de bisección con la velocidad del método de la secante y el método de interpolación cuadrática inversa. Iniciando con un intervalo donde lafunción cambia de signo, el siguiente paso toma el camino más veloz disponible (secante o interpolación cuadrática inversa, si no hay peligro de colapso) sin dejar nunca el intervalo donde hay cambio de signo. Así en el peor de los casos, en el siguiente paso se usaría bisección. Este algoritmo es un método de tipo adaptativo. Está balanceado de tal manera que siempre encuentra una respuesta y essiempre más rápido que bisección. Algunos paquetes de software, como Mathematicar y MatLabr, usan Newton, secante y el método de Brent para aproximar ceros de funciones. Para encontrar las raíces de un polinomio se usan algoritmos especializados, por ejemplo el algoritmo de Jenkins-Traub.

1.1 Orden de convergencia
El orden de convergencia nos da una ’medida’ de la rapidez con la que unasucesión de aproximación converge, en particular nos podría informar con qué rapidez, a partir de cierto índice, ganamos cifras decimales correctas.





1.1 Importancia de los métodos numéricos.
 Los métodos numéricos son herramientas muy poderosas para la solución de problemas. Son capaces de manejar sistemas de ecuaciones grandes, no lineales y geométricas complicadas, comunes en lapráctica de la ingeniería y, a menudo, imposibles de resolver analíticamente. Por lo tanto, aumentan la habilidad de quien los estudia para resolver problemas.
 En el transcurso de la carrera tengamos la ocasión de usar software disponible comercialmente que tenga métodos numéricos. El uso inteligente de estos programas depende del conocimiento de la teoría básica en la que se basan estos métodos....