Economia

Variable aleatoria

Se llama variable aleatoria (v.a.) a toda aplicación que asocia a cada elemento del espacio muestral () de un experimento, un número real.

a)

Consideremos el experimento que consiste en lanzar tres monedas al aire. Llamaremos C a Cara y X a Cruz, el espacio muestral será: 
={CCC,CCX,CXC,XCC,CXX,XCX,XXC,XXX}
Definimos la variable aleatoria (v.a.) X como el número decaras, estamos asociando a cada suceso un número, así:
X(CCC)=3                 X(CCX)=2                 X(XXC)=1                 X(XXX)=0
b)
Consideremos el experimento que consiste en lanzar un dado dos veces. El espacio muestral será:
={(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2)(5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) }
Definimos la variable aleatoria (v.a.) X como la suma de las puntuaciones, entonces
X((1,1))=2                  X((3,4))=7                  X((2,6))=8                  X((5,6))=11
Las variables aleatorias las podemos clasificar en discretas, si pueda tomar un número finito o infinito numerable de valores o continuas si dado unintervalo (a,b) la variable puede tomar todos los valores comprendidos entre a y b.

Distribución binomial

La distribución de probabilidad binomial es uno de los modelos matemáticos (expresión matemática para representar una variable) que se utiliza cuando la variable aleatoria discreta es el número de éxitos en una muestra compuesta por n observaciones.
Propiedades
- La muestra se compone de unnúmero fijo de observaciones n
- Cada observación se clasifica en una de dos categorías, mutuamente excluyentes (los eventos no pueden ocurrir de manera simultánea. Ejemplo: Una persona no puede ser de ambos sexos) y colectivamente exhaustivos (uno de los eventos debe ocurrir. Ejemplo: Al lanzar una moneda, si no ocurre cruz, entonces ocurre cara). A estas categorías se las denomina éxito yfracaso.
- La probabilidad de que una observación se clasifique como éxito, p, es constante de una observación o otra. De la misma forma, la probabilidad de que una observación se clasifique como fracaso, 1-p, es constante en todas las observaciones.
- La variable aleatoria binomial tiene un rango de 0 a n
Ejemplo
k = 6, al lanzar una moneda 10 veces y obtener 6 caras.
Distribución binomialLa distribución binomial se suele representar por B(n, p).
n es el número de pruebas de que consta el experimento.
p es la probabilidad de éxito.
La probabilidad de  es 1− p, y la representamos por q.
Los experimentos que tienen este tipo de distribución tienen las siguientes características:
a)      Al realizar un experimento con este tipo de distribución, se esperan dos tipos de resultados.b)      Las probabilidades asociadas a cada uno de los resultados no son constantes.
c)      Cada ensayo o repetición del experimento no es independiente de los demás.
d)      El número de repeticiones del experimento (n) es constante.

Ejemplo:
En una urna o recipiente hay un total de N objetos, entre los cuales hay una cantidad a de objetos que son defectuosos, si se seleccionan de estaurna n objetos al azar, y sin reemplazo, ¿cuál es la probabilidad de obtener x objetos defectuosos?
Solución:

Luego;

donde:
p(x,n) = probabilidad de obtener x objetos defectuosos de entre n seleccionados

muestras de n objetos en donde hay x que son defectuosos y n-x buenos

todas las muestras posibles de seleccionar de n objetos tomadas de entre N objetos en total = espacio muestralConsiderando que en la urna hay un total de 10 objetos, 3 de los cuales son defectuosos, si de seleccionan 4 objetos al azar, ¿cuál es la probabilidad de que 2 sean defectuosos?

Solución:

N = 10 objetos en total
a = 3 objetos defectuosos
n = 4 objetos seleccionados en muestra
x = 2 objetos defectuosos deseados en la muestra

donde:

probabilidad asociada a cada muestra de 4 objetos que...