Economia

DERIVADAS

Q Q Q[pic]
[pic]
Q [pic] [pic]
P P
[pic]

Figura 1 Figura 2 Figura 3

Definiciones:

Línea secante: Es la línea que intercepta la curva en dos o más puntos (Fig. 1).

Línea tangente a una curva en un punto P de la misma: Es la línea resultante de laposición límite de las líneas secantes [pic], siendo Q un punto de la curva acercándose al punto P, ya sea por la derecha o por la izquierda (Fig. 2).

Pendiente de una curva en un punto P de la misma: Es la pendiente, en caso de que exista, de la línea tangente a la curva en el punto P.

Cálculo de la pendiente de una curva [pic] en un punto [pic] :

Haciendo referencia a la Figura 3, sea[pic] , entonces [pic]. Ahora bien:
[pic]. Por tanto por las definiciones anteriores, se tiene que:
|[pic] |

Ejemplos. Encontrar la pendiente de cada una de las siguientes curvas en el punto indicado:

1 [pic]
[pic]

2. [pic]
[pic]

3. [pic]
[pic]

Definiciones:

Derivada de una función [pic]: Es lafunción denotada por [pic] y definida por:
|[pic] |

siempre que el límite exista. Geométricamente representa la pendiente de la línea tangente a la curva en cualquier punto de la misma.

Función diferenciable: Una función cuya derivada existe dentro de su dominio.

Diferenciación: El proceso de encontrar la derivada de una función.

Ejemplos.Encontrar las derivadas de las siguientes funciones:

1. [pic]
[pic]
2 [pic]
[pic]3 [pic]
[pic]
[pic] [pic]no está definida (no es diferenciable)

Diferentes formas de representar la derivada de una función [pic] :
[pic] , y en el punto [pic]
4. Encontrar la derivada de: [pic]
[pic]

[pic]
Determinación de la ecuación de la recta tangente a unacurva [pic] en un punto dado [pic]

1. Encontrar [pic] que es la pendiente de la curva en el punto [pic], es decir la pendiente de la línea tangente a la curva en ese punto.

2. Aplicar la expresión para encontrar la ecuación de una recta en su forma punto - pendiente: [pic] .
Ejemplo: Determinar la ecuación de la recta tangente a la curva [pic] en el punto [pic].
[pic]
[pic]
[pic]otambién [pic]

Reglas de diferenciación:

|Hipótesis: [pic]son funciones diferenciables; c es una constante y n un número real. |
|[pic] 4. [pic] |
|[pic] 5. [pic] |
|[pic]|

Demostraciones:

1. Sea [pic]
[pic]

2. Se dará una demostración para el caso en que n sea un entero positivo:
Sea [pic]
[pic]

3 Sea [pic]
[pic]

4 Sea [pic]
[pic]

5. Se demuestra de la misma forma que el 4.

Ejemplos:

1. [pic]
2. [pic]
3. [pic]
[pic]
4. [pic]
[pic]
5Determinar la ecuación de la recta tangente a la curva: [pic]
[pic]
si [pic]
La derivada como razón de cambio.

Definición: [pic]
El intervalo [pic] se puede representar también como [pic], en donde [pic]. Así [pic]
La razón de cambio instantánea se abrevia simplemente como razón de cambio [pic].
Ejemplo: Si [pic], representa la velocidad promedio de [pic]
y [pic] , es lavelocidad instantánea para cualquier valor de t.
Si [pic] (s en metros y t en segundos), la velocidad promedio de 2 a 5 segundos es:
[pic] y la velocidad instantánea para cualquier valor de t es: [pic] . Para [pic] y para [pic] las velocidades son: [pic].

Interpretación de la derivada como razón de cambio:
Si [pic] (es decir, es "muy pequeño") [pic] y si [pic] .
Por tanto [pic]...