Economia

SMM

´
´
Miscelanea Matematica 48 (2009) 1–6

Las medias como promedios
ponderados
Alfinio Flores Pe˜afiel
n
University of Delaware
alfinio@math.udel.edu

Resumen
Tres de las medias que se usan frecuentemente en matem´ticas
a
(media cuadr´tica, media geom´trica, y media arm´nica) se
a
e
o
obtienen como promedios ponderados utilizando ciertos segmentos paralelos a las bases de untrapecio.

1.

Una interpretaci´n geom´trica de proo
e
medios ponderados

La media aritm´tica de dos n´meros a y b es simplemente a+b , pero
e
u
2
cuando uno de los n´meros se repite, como cuando queremos obtener
u
el promedio de a, a, a, b, necesitamos obtener el promedio ponderado
3a+b
. En esta expresi´n los coeficientes de a y b nos dan el peso de
o
4
cada n´mero y eldenominador es la suma total de los pesos. En este
u
art´
ıculo vamos a considerar n´meros a y b que satisfacen 0 < a ≤ b.
u
El segmento que une los puntos medios de los lados de un trapecio con
bases a y b da una interpretaci´n geom´trica de la media aritm´tica
o
e
e
de dos n´meros a+b . Si tomamos un segmento que equidiste de este
u
2
segmento y una de las bases, podemos encontrar sulongitud tomando
el promedio del segmento paralelo medio y la base correspondiente, por
ejemplo (Figura 1)
1
2

a+

a+b
2

=

3a + b
.
4

Para el segmento en la cuarta parte inferior de la altura su longitud
ser´ a+3b . Vemos que la longitud de los nuevos segmentos est´ dada
ıa 4
a
por un promedio ponderado de los dos n´meros a y b. El peso que
u
corresponde a una de las bases esmenor si el segmento est´ m´s lejos
aa
de esta base que de la otra.

2

˜
Alfinio Flores Penafiel
a
3a + b
4
a+b
2
a + 3b
4

b

Figura 1: Promedios ponderados
En general, si la distancia de un segmento paralelo a la base a es n,
y la distancia a la base b es m (Figura 2), el peso correspondiente a a
ser´ m y el peso correspondiente a b ser´ n. La longitud del segmento
a
aest´ dada por
a
ma + nb
m+n

(1)

Para probar esto, denotamos por x la longitud del segmento, expresamos el area total del trapecio como la suma de las areas de los dos
´
´
b+x
a+b
a+x
trapecios menores, n 2 + m 2 = 2 (m + n), y encontramos x. O sea
que para un segmento dado paralelo a las bases, si ha es la altura del
trapecio que contiene a a, y hb es la altura del trapecio quecontiene a
b, entonces los pesos pa and pb asociados con a y b satisfacen la relaci´n
o
inversa
pb
ha
=.
hb
pa

(2)

Notamos que si reemplazamos m y n por km y kn en la expresi´n
o
(1) no se cambia su valor. Esto es, para bases dadas a y b, y un cierto
valor de la raz´n ha entre las alturas de los trapecios menores, el valor
o hb
correspondiente de x ser´ el mismo para cualquiertrapecio con bases a
a
y b, y la misma raz´n de las alturas ha , independientemente de la altura
o
hb
del trapecio original. Otra manera de pensar acerca de esto es imaginar
que si un trapecio se estira uniformemente en la direcci´n vertical tal
o
transformaci´n no afectar´ las longitudes de los segmentos horizontales.
o
a
O sea que no necesitamos saber las alturas de los trapeciosmenores,
todo lo que necesitamos saber es su raz´n. Dada esta raz´n, la longitud
o
o
del segmento se puede calcular como un promedio ponderado de a y b.

3

Las medias como promedios ponderados

Los pesos para a y b pueden ser cualesquiera dos valores que satisfagan
la ecuaci´n (2).
o
a
n
ma + nb
m+ n

m
b

Figura 2: Pesos y alturas

2.

´
Areas iguales

Un segmento paraleloa las bases que es interesante es el que divide
el trapecio en dos trapecios de ´reas iguales (Figura 3). Si las bases
a
son a y b, la longitud x de este segmento satisface ha a+x = hb b+x ,
2
2
b
o equivalentemente ha = a+x . Por tanto el peso asociado con a ser´
ıa
hb
+x
a + x, el peso asociado con b ser´ b + x, y tenemos que x =
ıa

(a+x)a+(b+x)b
.
(a+x)+(b+x)
2

2...