economia

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PRACTICAS
DE ANALISIS
DE VARIAS
VARIABLES
Departamento de An´alisis Matem´atico
Curso 2006/2007

Profesores responsables :
Fuensanta Andreu
Carmen Fern´andez
Antonio Galbis
Josep Mart´ınez
Sergio Segura
Juli´an Toledo

Pr´
actica 1. Funciones de varias variables. L´ımites. . . . . . . . . . . . . . . . . .
Pr´
actica 2. Diferenciabilidad de funciones de varias variables .. . . . . . . . . .
Pr´
actica 3. La regla de la cadena. Cambio de coordenadas. . . . . . . . . . . . .
Pr´
actica 4. Extremos relativos y absolutos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Pr´
actica 5. Los teoremas de la funci´
on inversa y de la funci´
on impl´ıcita. . . . .
Pr´
actica 6. Extremos Condicionados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Pr´
actica 7.Integral Impropia de Riemann. Criterios de Convergencia . . . . .
Pr´
actica 8. Integrales iteradas en R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Pr´
actica 9. Teoremas de convergencia. Conexi´
on de la integral de Lebesgue con
la de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Pr´
actica 10. Teorema de Fubini. Integrales de funciones devarias variables . . .
´
Pr´
actica 11. Cambios de variable. C´
alculo de Areas
y Vol´
umenes . . . . . . . . .

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1
7
11
15
19
24
28
32

. 36
. 44
. 47

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An´alisis de varias variables

Curso 2006/2007

1

Pr´
actica 1.
Funciones de varias variables.
L´ımites.
1.

Subconjuntos de Rn .

Para poder estudiar funciones de variasvariables necesitamos estudiar previamente los conjuntos
entre los cuales act´
uan. Por cuestiones obvias de visualizaci´on trabajaremos con dos o con tres variables.
Ejemplo 1.1
Determinar el conjunto U := {(x, y)| x2 + y 2 ≥ 9}.
Si consideramos la ecuaci´
on x2 + y 2 = 9, que corresponde a una circunferencia de centro el origen
y radio tres, sabemos que la curva que representa divide al plano entres regiones, a saber:
C := {(x, y)|x2 + y 2 = 9}, es decir la curva propiamente dicha.
I := {(x, y)|x2 + y 2 < 9}, los puntos de su “interior.o aqu´ellos cuya distancia al origen es menor
que tres.
E := {(x, y)|x2 + y 2 > 9}, los puntos de su “exterior.o aqu´ellos cuya distancia al origen es mayor
que tres.
En nuestro caso U = C ∪ E. El conjunto es cerrado y no acotado.
Ejemplo 1.2Determinar el conjunto U := {(x, y)| x + y ≤ 5 , y > x2 − 1}.
La recta x + y = 5 queda determinada por dos de sus puntos, por ejemplo (0, 5) y (5, 0), y divide
al plano en tres regiones, a saber:
R := {(x, y)| x + y = 5}, formada por los puntos de la propia recta.
P1 := {(x, y)| x + y < 5}, formada por el semiplano que contiene al (0, 0) (punto que no est´a en
R y que nos sirve de test).
P2 :={(x, y)| x + y > 5}, formada por el semiplano que no contiene al (0, 0).
La par´abola y = x2 − 1 tiene su v´ertice en (0, −1) y tiene la convexidad hacia las ordenadas
negativas. Divide al plano en tres regiones:
P := {(x, y)| y = x2 − 1}, los puntos de la par´abola.
I := {(x, y)| y > x2 − 1}, los puntos de la parte c´oncava, como por ejemplo es el (0, 0).
E := {(x, y)| y < x2 − 1}, los puntosde la parte convexa.
En nuestro caso U = (R ∪ P1 ) ∩ I, que no es ni abierto ni cerrado pero acotado.
Ejemplo 1.3
Determinar el conjunto U := {(x, y, z)| z ≥ x2 + y 2 }.
Visualizaremos el conjunto U estudiando sus secciones o cortes horizontales y verticales. Consideremos la superficie determinada por z = x2 + y 2 .
Si cortamos por un plano horizontal z = a, es decir, buscamos los puntos (x,y, a) tales que a =
x2 + y 2 , vemos que no tiene sentido si√a < 0 , es el origen si a = 0, y si a > 0 se trata de una
circunferencia de centro (0, 0, a) y radio a. Este proceso que reencontraremos m´as tarde se denomina
estudio de las curvas de nivel.
Si cortamos por un plano vertical, por ejemplo el x = b o el y = c, nos encontramos en ellos con
sendas par´abolas. Concluimos pues que se...