Economia

Límite y continuidad de funciones de varias variables
20 de marzo de 2009

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Subconjuntos de Rn y sus propiedades
De…nición 1. Dado x 2 Rn y r > 0; la bola de centro x y radio r es B(x; r) = fy 2 Rn : ky xk < rg :

De…nición 2. Un subconjunto A de Rn se dice abierto si dado cualquier x 2 A existe una bola B(x; r); centrada en x; contenida en A: Ejemplo 1. Sea z 2 R2 y R > 0: El conjuntoA = B(z; R) es abierto. En efecto, sea x 2 A: Si tomamos r = R kx zk resulta r > 0 y resulta B(x; r) A: En efecto, si y 2 B(x; r) entonces ky zk ky xk + kx zk < r + kx zk = R: Ejemplo 2. C = y 2 R3 : kyk 1 no es abierto pues si tomamos un y de norma igual a uno (kyk = 1), cualquier bola centrada en y contiene puntos de norma mayor que uno, o sea del complemento de C y por lo tanto para todo r > 0;B(y; r) C: Nota El conjunto ; se considera abierto. Propiedades 1) ; y Rn son abiertos. 2) La unión de cualquier familia de conjuntos abiertos es un conjunto abierto. 3) La intersección de un número …nito de conjuntos abiertos es un conjunto abierto. De…nición 3. Un subconjunto C de Rn se dice cerrado si su complemento R C es abierto.
n

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Ejemplo 3. C = y 2 R3 : kyk 1 es cerrado porque sepuede ver fácilmente que Rn C = y 2 R3 : kyk > 1 es abierto. Propiedades 1) ; y Rn son cerrados. 2) La intersección de cualquier familia de conjuntos cerrados es un conjunto cerrado. 3) La unión de un número …nito de conjuntos cerrados es un conjunto cerrado . Para intervalos de R la terminología "abierto" y "cerrado" que acabamos de introducir coincide con la habitual. Un conjunto puede no serabierto ni cerrado. Por ejemplo el intervalo [a; b) : De…nición 4. Sea A Rn : Un punto x 2 A se dice punto de acumulación de A si para cada r > 0, la bola B(x; r) contiene puntos de A distintos de x: Un punto x 2 A que no es punto de acumulación de A se dice un punto aislado de A: De…nición 5. Un subconjunto A de Rn se dice acotado si existe M > 0 tal que kxk < M para cada x 2 A (o sea si A estácontenido en una bola centrada en el origen de radio M ). Una función F a valores en Rm se dice función acotada si su imagen es un subconjunto acotado de Rm :

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Límite

p Consideramos f : R2 ! R dada por f (x; y) = 9 x2 y 2 con dominio D = (x; y) 2 R2 : k(x; y)k 3 : Si el punto (x; y) está cerca del origen, tanto x como y están cerca de cero y por lo tanto f (x; y) está cerca de 3: Esto seexpresa diciendo que f (x; y) tiende a 3 si (x; y) tiende al origen. Formalmente tenemos la siguiente De…nición 6. Sea F una función de…nida en un subconjunto A de Rn con valores en Rm y sea x0 un punto de acumulación de A: Se dice que l 2 Rm es el límite de F para x que tiende a x0 y se escribe l = lim F (x)
x!x0

si 8" > 0 existe

> 0 tal que x2A fx0 g ; kx x0 k < =) kF (x) lk < ":

Estodice: x 2 A

fx0 g \ B(x0 ; ) =) F (x) 2 B(l; "):

2

Teorema 1. Sea F = (f1 ; :::; fm ) una función de…nida en un subconjunto A de Rn con valores en Rm y sea x0 un punto de acumulación de A: Entonces
x!x0

lim F (x) = l = (l1 ; :::; lm )

si y sólo si para cada i = 1; :::; m
x!x0

lim fi (x) = li :

O sea F tiende a l si cada función coordenada de F tiende a la correspondientecoordenada de l: Demostración. Supongamos que lim F (x) = l: Dado " > 0 existe > 0
x!x0

tal que x 2 A kF (x)

se tiene también que jfi (x)

fx0 g ; kx x0 k < =) kF (x) lk < ": Como q 2 2 lk = (f1 (x) l1 ) + ::: + (fm (x) lm ) jfi (x)
x!x0

li j

Supongamos ahora que cada fi tiende a li para x que tiende a x0 : Dado " > 0 existe i > 0 tal que x2A fx0 g ; kx x0 k <
i

li j < " y estodemuestra que lim fi (x) = li :

=) kfi (x) x0 k <
2

" li k < p m =) kF (x) lk
2

sea

= min

1 i m

i;

entonces x 2 A
2

fx0 g ; kx

= (f1 (x)

l1 ) + ::: + (fm (x)

lm ) <

"2 "2 + ::: + = "2 : m m

Nota. Para el caso de funciones F : R ! Rm ; este teorema muestra que la de…nición actual de límite coincide con la que ya habíamos dado en el capítulo anterior. Se...