Economia

TEMA 3: MODELOS DE PROBABILIDAD

1. VARIABLES DE CONTEO. EL MODELO BINOMIAL En este capítulo se describen algunos modelos probabilísticos que son de uso en situaciones comunes. Empezamos por las variables de conteo, denominadas así porque están asociadas a procesos en los que los resultados se obtienen contando. Definición: Sea un espacio probabilístico asociado con cierto experimento y sea Aun suceso (que se denomina éxito) tal que P(A) = p y q = 1-p es la probabilidad de no realización de A (fracaso). Supongamos que el experimento se repite n veces de forma independiente, y sea la variable aleatoria X= nº de veces que acontece A en los n ensayos (nº de éxitos en los n ensayos). Entonces se dice que X sigue un modelo Binomial B(n;p) o simbólicamente X ∈ B( n; p ) , y se sigue que:
0≤X ≤n y se cumple n P( X = x) =   p x q n− x x x = 0,1,..., n

Explicación: p x es la probabilidad de que el éxito ocurra x veces; q n − x es la probabilidad de que el
n fracaso ocurra n-x veces; y   son las formas de ubicar los x éxitos entre los n ensayos. x Observar que para n = 1 (hay un sólo ensayo), se tiene que X sigue un modelo de Bernoulli.

Ejemplo 1: Se lanza un dadoequilibrado 3 veces y sea X = nº de veces que se obtiene el 4. Se pide calcular la función de probabilidad de esta variable aleatoria así como su valor esperado y varianza. Aplicando lo anterior sabemos que X ∈ B( n; p ) con n = 3, p = 1/6 y por tanto q = 5/6. Luego:
3 3 P ( X = 0) =   q 3 = ( 5 / 6 ) = 0 '5787 0 2 3 P ( X = 1) =   pq 2 = 3 ⋅ (1/ 6) ⋅ ( 5 / 6 ) = 0 '3472 1

3 P ( X= 2) =   p 2 q = 3 ⋅ (1/ 6) 2 ⋅ ( 5 / 6 ) = 0 '0694 2
3 x =0

3 P ( X = 3) =   p3 = (1/ 6)3 = 0 ' 0046 3

µ X = E[ X ] = ∑ x ⋅ P( X = x) = 0 + 0 '3472 + 2 ⋅ 0 ' 0694 + 3 ⋅ 0 '0046 = 0 '5
En general no será necesario efectuar estos cálculos, pues se puede demostrar que si X ∈ B( n; p ) entonces E[ X ] = np , y en el ejemplo: E[ X ] = 3 ⋅ (1 6) = 0´5 .
2 Para la varianza, aplicamosla fórmula σ X = E  X 2  − ( E [ X ]) y como E[ X ] = 0´5 , entonces falta   2

calcular

E  X 2  = ∑ x 2 P( X = x) = 12 ⋅ 0 '3472 + 22 ⋅ 0 '0694 + 32 ⋅ 0 ' 0046 = 0´6667 .  
x =0

3

Luego

2 concluimos que σ X = 0´6667 − 0´52 = 0´4167 (se demuestra que cuando X ∈ B ( n; p ) entonces 2 2 σ X = npq ); y así en el ejemplo anterior σ X = 3 ⋅ (1 6) ⋅ (5 6) = 15 36 = 0´4167 .

Estadística Avanzada: Apuntes de Apoyo (L. González)

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Tema 3: Modelos Probablilísticos

Curso 2012/13

Ejemplo 2: Una empresa de ventas por correo envía 29 catálogos, y se asume que la probabilidad de que el receptor de un catálogo haga un pedido es de 0’15. Calcúlense las probabilidades de recibir: a) Exactamente 5 pedidos. b) A lo sumo 5 pedidos. c) Al menos 8 pedidos. d)Entre 4 y 9 pedidos, ambos valores inclusive. e) El número de pedidos que se recibirán por término medio. Propiedad de la ley Binomial: Si X ∈ B( n; p ) , entonces si llamamos Y a la variable Y = n − X resulta que Y representa el total de fracasos en los n ensayos, y por tanto Y ∈ B( n; q ) . Esta propiedad permite abreviar las tablas de las distribuciones binomiales, pues si p > 0´5 en vez decontarse los éxitos se pueden contar los fracasos, y así sólo es necesario tener construidas tablas para valores de p inferiores o iguales a 0’5.

2. LA DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA Situación: La probabilidad de éxito para un determinado experimento es p, y sea X el número de veces que hay que realizar el experimento (de forma independiente cada vez) hasta obtener un éxito. En estas condiciones se diceque X ∈ G ( p ) , cuyas características principales son: Función de probabilidad: P ( X = x ) = (1 − p ) x −1 ⋅ Función de distribución: F ( x) = 1 − q x x = 1, 2,3,... ya que q x representa la probabilidad de obtener x fracasos iniciales 1 p
2 , σX =

p

= q x −1 ⋅ p con

x = 1, 2,3,... y q = 1- p

probabilidad de x −1 probabilidad de exito fracasos iniciales en el ensayo x

Valor...