Economia

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ESTAD´ ISTICA
VARIABLES ALEATORIAS
Alberto Luce˜ o n Francisco J. Gonz´lez a

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Copyright c 2000 Actualizado el: 11 de noviembre de 2003

Versi´n 2.00 o

Tabla de Contenido
3. Variables aleatorias 3.1. Variables aleatorias discretas 3.2. Variables aleatorias continuas 3.3. Cambio de variable Soluciones de Ejercicios

Secci´n 3:Variables aleatorias o

3

3. Variables aleatorias 3.1. Variables aleatorias discretas
Ejercicio 39. En algunos casinos se realiza el siguiente juego: se elige uno de los n´meros 1, 2, 3, 4, 5, 6. A continuaci´n se lanzan tres u o dados. Si el n´mero elegido aparece 1, 2, 3 veces, se recibe 1, 2, 3 u veces lo apostado, y se recupera ´ste. Si no aparece el n´mero elegido, e u se pierde loapostado. Sea X la variable aleatoria que proporciona la ganancia. Obtener E(X). Ejercicio 40. Una variable aleatoria tiene la siguiente funci´n de o probabilidad, x P (x) 1 0,05 2 0,20 3 0,05 4 0,45 5 0,25

1. Comprobar que es una funci´n de probabilidad. o 2. Calcular P (x ≤ 3). 3. Calcular P (x > 3).
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Secci´n 3: Variables aleatorias o

4

4. Calcular P (x = 1 ∪ x = 3 ∪ x= 5). 5. Calcular E(X). 6. Representar la funci´n de distribuci´n FX (x). o o Ejercicio 41. Fiabilidad de un componente. Para una componente de un sistema, sea A el suceso “la componente funciona”. Se define la funci´n indicatriz del suceso A como aquella funci´n IA tal que IA = 1 o o si A es cierto e IA = 0 si A es falso. ¿Qu´ indica E(IA )? e

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f)

Representarla funci´n de distribuci´n FX (x). o o

Secci´n 3: Variables aleatorias o
b) 0,3 c) 0,7 d) 0,35

5
e) 3,65

41.

Ejercicio 42. A partir la figura

Fiabilidad de un componente. Para una componente de un sistema, sea A el suceso “la componente funciona”. Se define la funci´n indicatriz del suceso A como aquella funci´n I A tal que IA = 1 si A o o 1. Determinar la funci´n indicatriz de lossistemas. oe es cierto e IA = 0 si A es falso. ¿Qu´ indica E(IA )? A partir la figura 3.1

42.

2. Determinar la fiabilidad de los sistemas.
a) Suponiendo po indicatriz p = 0,90, 3. Determinar la funci´n = p2 = de3los sistemas.determinar la fiabilidad de los 1 b) Determinar la fiabilidad de los sistemas. sistemas y compararlos. c) Suponiendo p1 = p2 = p3 = 0,90, determinar la fiabilidad de lossistemas y compararlos. 1 2 3
(a) Circuito1 (b) Circuito2

1 1 2 3

2

(c) Circuito3

Figura 3.1: Funci´n indicatriz y fiabilidad o
a) 1 − (1 − I1 )(1 − I2 )(1 − I3 ), I1 I2 , 1 − (1 − I1 I2 )(1 − I3 ) b) 1 − q1 q2 q3 , p1 p2 , 1 − (1 − p1 p2 )q3

Universidad de Cantabria.

Alberto Luce˜o y Fco. Javier Gonz´lez n a

25

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43.

3. VARIABLES ALEATORIASSecci´n 3: Variables aleatorias o
Determinar la funci´n indicatriz y la fiabilidad de cada uno de los sistemas de la figura 3.2 o

6

3.

Ejercicio 43. Determinar la funci´n indicatriz y la fiabilidad de cada o
1 2 Determinar los sistemas de y lafigura de cada uno de 1 sistemas de 1 figura 3.2 o los la uno de la funci´n indicatriz la fiabilidad

1
3

2
4

1
2
(b) Circuito5

1
2(a) Circuito4

3

4

2
Figura 3.2: Funci´n indicatriz y fiabilidad o
(b) Circuito5

2

(a) Circuito4

44.

Ejercicio 44. Determinar la funci´n indicatriz y la fiabilidad de cada o uno de los funci´n indicatriz lalafigura − I I cada uno),de los1 sistemaspde la−figura 3.3 a) = 1 − (1 Determinar la sistemas de y I fiabilidad de )(1 − I I R = − (1 − p )(1 p p ) o
1 2 3 4 1 2 3 4

b) I =[1 o (1 − I1 )(1 − I y − (1 − I3 )(1 − Figura 3.2: Funci´n indicatriz2 )][1fiabilidad − I4 )], R = (1 − q1 q2 )(1 − q3 q4 )

a) I = 1 − (1 − I1 I2 )(1 − I3 I4 ), R = 1 − (1 − p1 p2 )(1 − p3 p4 )

b) I = [1 − (1 − I1 )(1 − I2 )][1 − (1 − I3 )(1 − I4 )], R = (1 − q1 q2 )(1 − q3 q4 )

4.

1 3

2

1 3

Determinar la funci´n indicatriz y la fiabilidad de cada uno de los sistemas de la...