economicas

Lección 1: Teoría de
Funciones Derivables
Matemáticas para la Economía y la
Empresa
Departamento de Economía Aplicada (Matemáticas)
Grado en Economía
Universidad de Málaga

2

Fórmula deTaylor

1.5. Fórmula de Taylor
Dada una función:
f: D  R  R
x  f ( x ) f  Cn(D) y sea x0 un punto de D
Fórmula o Polinomio de Taylor de f de orden n alrededor de x0
f x   f x 0  

f' x 0 
1!

x  x 0  

f ' ' x 0 
2!

 x  x 0 2   

f

(n

x 0  

n!

x  x 0   Rx  x 0 
n

Ejercicio
Calcula los polinomios de Taylor de orden 1, 2 y 3alrededor del
punto x0 = 0 para la función f (x) = ex .

n 1

f ( x ) ex
f ( x )  e x
f ( x )  e x
f ( x )  e x

f(0)  1
f ( 0 ) 1
f ( 0 ) 1
f ( 0 ) 1

P1 ( x )  1 x
mejor aproximaci ón lineal
x2
P2 ( x )  1  x 
2
mejor aproximaci ón cuadrática
x2 x3
P3 ( x )  1  x 

2
6

1.5. Fórmula de Taylor. Generalización a n variables

1   t

  
 
t   
f ( x )  f ( x 0 )   f ( x 0 )( x  x 0 )  ( x  x 0 ) H f ( x 0 )( x  x 0 )  R ( x  x 0
 2
Aproximación Lineal




AproximaciónCuadrática

Ejemplo
Dada la función

f ( x, y, z )  x3  Ln( yz )

Calcular:
a) Desarrollo de Taylor de grado uno (aproximación lineal) en el punto (1, 1, 1)
b) Desarrollo de Taylor de grado dos(aproximación cuadrática) en el punto
(1, 1, 1)

3

)

1.5. Fórmula de Taylor. Generalización a n variables
a) Desarrollo de Taylor de grado uno (aproximación lineal) en el punto (1, 1, 1)

 x  1



t
 f ( x, y, z )  f (1,1,1)  f (1,1,1)  y  1

 z 1



 x 3  Ln( yz )  1  3( x  1)  y  1  z  1

b) Desarrollo de Taylor de grado dos (aproximacióncuadrática) en el punto (1, 1, 1)

 x  1
 6 0 0  x  1





1
3
x  Ln( yz )  f (111)  (3 11) y  1  ( x  1, y  1, z  1) 0  1 0  y  1
 z  1 2
 0 0  1...