Economía

Expresiones Algebraicas Racionales

EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES
Llamaremos expresiones algebraicas racionales a las de la forma

A( x ) donde A(x) y B(x) son B( x )

polinomios de variable x, y B(x) ≠ 0. 7 Por ejemplo, es una expresión algebraica racional porque el numerador A(x) = 7 es un x−2 polinomio y el denominador B(x) = x − 2 también es un polinomio.

También es unaexpresión algebraica racional
¿Es x 5 + 3x 3

x 3 − 2x + 3 x 2 + 7x

.

una expresión algebraica racional?.............................................................................. x −3 La expresión x 2 − 9 es también racional porque x 2 − 9 es un polinomio y 1, su denominador, también lo es.
Simplificación de expresiones racionales

Recordamos que, dado el racional donde a a⋅n con n ≠ 0 . =b b⋅n

2 2 4 14 podemos hallar otros equivalentes con él: = = = ... 3 3 6 21

Análogamente para

la expresión racional

A( x ) pueden hallarse expresiones racionales B( x )

equivalentes:

A( x ) A( x ) ⋅ N( x ) = siendo N(x) cualquier polinomio no nulo. B( x ) B( x ) ⋅ N( x )

En Z muchas veces se nos presenta el problema de encontrar la fracción equivalente más simple 77 7 ⋅ 11 7que una dada. Por ejemplo, = = 2 132 2 ⋅ 3 ⋅ 11 12 También es posible simplificar expresiones algebraicas racionales cuando existen factores comunes al numerador y al denominador, de lo contrario la expresión racional es irreducible. Consideremos x2 − 1 x 3 + 3x 2 − x − 3 . Factorizamos su numerador y su denominador:

x 2 − 1 = ( x + 1) ( x − 1) x 3 + 3x 2 − x − 3 = x 2 ( x + 3) − ( x + 3) = ( x+ 3) ( x 2 − 1) = ( x + 3) ( x + 1) ( x − 1) Entonces
x2 − 1 x 3 + 3x 2 − x − 3 = ( x + 1) ( x − 1) 1 si x ≠ 1 y x ≠ −1 = ( x + 3) ( x + 1) ( x − 1) x + 3

Las dos expresiones racionales,

x2 − 1 x + 3x − x − 3
3 2

y

1 son equivalentes para x ≠ 1 y x ≠ −1. x+3

Expresiones Algebraicas Racionales

La expresión final es equivalente a la dada para todo valor de x que no anule elfactor cancelado porque ello equivaldría a dividir por cero. Veamos otros ejemplos: I)
II) 3x 3 − 12x x 2 − 4x + 4 x2 + 5 = = 3x ( x 2 − 4) ( x − 2) 2 x2 + 5 = 3x ( x + 2) ( x − 2) 3x ( x + 2) = ( x − 2) ( x − 2) x−2 = 1 si x ≠ 2

∀ x ∈ R ¿Por qué esta expresión es válida para x 4 − 25 ( x 2 + 5) ( x 2 − 5) x 2 − 5 cualquier númeroreal?........................................................................................................................... Actividad Nº1 Simplificar, indicando para qué valores de x la expresión resultante es equivalente a la dada. a) 2x − 6 x 2 − 6x + 9
x2 + x b) x +1

c)

x 3 − 49x x 3 − 14x 2 + 49 x

d)

x2 − x − 6 x 2 + 3x + 2

Operaciones con Expresiones Algebraicas Racionales
Para operar con expresiones racionales, aplicamos las mismaspropiedades y técnicas que para operar con fracciones numéricas.
Adición y Sustracción

3 1 + necesitamos hallar fracciones equivalentes a los sumandos, 14 21 3 1 3 1 3 ⋅ 3 + 1 ⋅ 2 11 de igual denominador: + = + = = . 14 21 2 ⋅ 7 3 ⋅ 7 2 ⋅3⋅ 7 42 Recordamos que para sumar Para sumar (o restar) expresiones racionales de distinto denominador, debemos sumar (o restar) expresiones equivalentes aellas que tengan el mismo denominador. Para hallarlo, factorizamos los denominadores y luego multiplicamos los factores comunes y no comunes con el mayor exponente con el que figura (mínimo común múltiplo). Veamos el siguiente ejemplo: 2 3x − 6x + 3 2 3 ( x 2 − 2x + 1)
2

+

x x + 3x − 4 +
2

=

Factorizamos los denominadores: =

x 2 x = + = ( x − 1) ( x + 4) 3 ( x − 1) 2 ( x − 1) ( x + 4)2 ( x + 4) 3 ( x − 1) ( x + 4) = 3x 2 − x + 8 3 ( x − 1) 2 ( x + 4)
2

Buscamos expresiones equivalentes con igual denominador: 2x + 8 + 3x 2 − 3x 3 ( x − 1) 2 ( x + 4)

+

x ⋅ 3 ( x − 1) 3 ( x − 1) 2 ( x + 4)

=

Operamos en el numerador y sumamos: =

El numerador no tiene raíces reales, por lo tanto la expresión obtenida es irreducible.

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