Ecu dife

FAC. DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS INGENIERIA CIVIL INDUSTRIAL COMPLEMENTO MATEMATICOS

Prof : Oscar Catalán M. Anita Henríquez S.

Definición1: Una ecuación que contiene una función incógnita que depende de la variable x y una o más de sus derivadas se llama Ecuación Diferencial Ordinaria (O.D.E) . Esta ecuación la anotaremos: dy F(x, y, y´ ) = 0 , indicando que es de primer orden , porsu derivada y´= dx F(x, y, y´, y´´) = 0 , indicando que es de segundo orden, por su derivada y’’. F( x , y, y (1) , y ( 2) ,....., y ( n ) ) = 0 , indicando que es de orden n, por su derivada y ( n ) Ejemplo 1 dy = 3x 2 , es una E.D.O de primer orden. dx d2y dy , es una E.D.O de segundo orden. La ecuación =x 2 dx dx d3y d2y La ecuación − 3 2 − 2 y = e x (1 + xe x ) , es una E.D.O de tercer orden.dx 3 dx La ecuación Definición 2: Se dice que una función y=f(x) es solución ,en un intervalo real I ,de la E.D.O. F( x , y, y (1) , y ( 2) ,....., y ( n ) ) = 0 si F( x , f ( x ), f ´(x ), f ´´(x ),....., f ( n ) ( x )) = 0, ∀x ∈ I Ejemplo 2 La función f ( x ) = 3e x es solución de la ecuación diferencial de primer orden 2 dy = 2 xy , pues al sustituir y= 3e x se obtiene : dx
2 dy d (3e x ) = =2 ⋅ ( x ⋅ 3e x ) = 2 xy dx dx 2

2

Ejemplo 3 Verificar que, φ ( x) = e x − x es solución de la ecuación dy + y 2 = e 2 x + (1 − 2 x)e x + x 2 − 1 en el intervalo (−∞, ∞) . dx Solución.φ está definida en (−∞, ∞) y φ ' ( x) = e x − 1

Si y = φ (x )

⇒

dy + y 2 = (e x − 1) + (e x − x) 2 = e x − 1 + e 2 x − 2 xe x + x 2 dx = e 2 x + (1 − 2 x)e x + x 2 − 1 .

Solución de una EcuaciónDiferencial Ordinaria Consideremos la ecuación Entonces dy = f (x) dx (1)

dy = f(x)dx,

Integrando en forma indefinida obtenemos:
y = ∫ f ( x )dx + c (2) ,

donde c es una constante arbitraria (2). La solución es una familia uniparamétrica de curvas en el plano . Alternativamente, tenemos el problema de valor inicial, para resolver la ecuación dy = f ( x ) , sujeta a la condición dx (3) y( x0 ) = y 0 En este caso tenemos que :
dy = f ( x )dx .

Integrando entre x 0 y x , obtenemos: O bien ,

∫

x

x0

dy = ∫ f ( x )dx ,
x0
x x0

x

y( x ) − y( x 0 ) = ∫ f ( x )dx

Finalmente la solución única y(x) definida en I y cuya gráfica pasa por (xo, yo), siendo xo ∈ I , y0 ∈ IR, es:
y = y 0 + ∫ f ( t ) dt
x0 x

(4)

Observación En general, una ecuación diferencial deprimer orden la consideraremos escrita en la forma normal y´= f (x,y) , o en la forma P(x,y) dx + Q(x,y) dy = 0. (5)

Ejemplo 4: Resolver la ecuación diferencial

dy = 2sen (7 x ) dx 2 Solución: Integrando, obtenemos y = − cos(7 x ) + c , donde c es una constante arbitraria 7

Ejemplo 5: Resolver la ecuación diferencial dy 10 = 2 dx x + 1 Solución:

sujeta a la condición y(0) = 0Escribiendo en forma diferencial: 10 dy = 2 dx x +1
x x

∫
0

dy = ∫
0

10 dx x2 +1

y ( x) − y (0) = 10arctg ( x) − 10artg (0) y = 10arctg ( x)

Ejemplo 6: Resolver la ecuación diferencial dy = x 4 , sujeta a la condición inicial y(2) = 3 dx Solución: Escribiendo en forma diferencial
dy = x 4 dx
x x 4 ∫ dy = ∫ x dx 2 2

x 5 25 − 5 5 5 5 x 2 y ( x) − 3 = − 5 5 5 x 25 y= +3− 5 5 y ( x) −y (2) =

Ecuaciones Diferenciales de primer orden y de primer grado Ecuaciones de variables separables Cuando los términos de una ecuación diferencial, pueden disponerse de manera que tome la forma:

P( x)dx + Q( y )dy = 0
donde P (x) es una función de x; unicamente y Q( y ) una función de y únicamente. El procedimiento de resolución se llama de separación de variables y la solución seobtiene por integración directa. Así aplicamos integración a la relación, obteniéndose la solución general

∫ P( x)dx + ∫ Q( y)dy = c donde c es una constante arbitraria
Frecuentemente muchas ecuaciones no se dan de la forma señalada, sin embargo mediante procedimientos de agrupación y separación adecuada de las variables se pueden resolver.

Ejemplo 7 Resolver la ecuación diferencial dy t − 5...