Ecua No Lineales

Raúl Águila Fumey ECUACIONES NO LINEALES El problema es: resolver f ( x) = 0 , en que f : [a, b] → IR es continua y f (a ) ⋅ f (b) < 0 . Bajo esta consideración el teorema del valor intermedio garantiza que ∃c ∈ ]a, b[ tal que f (c) = 0 MÉTODO DE LA BISECCIÓN MÉTODO DE LA FALSA POSICIÓN Estos métodos verlos en el texto Burden

METODOS DE PUNTO FIJO Consideremos el problema de resolver laecuación x 2 − 3 x − 1 = 0 , si hacemos f (x) = x 2 − 3 x − 1 , nuestro problema es resolver f ( x) = 0 , notemos que x 2 − 3 x − 1 = 0 es
x2 −1 x2 −1 = x , luego si ponemos = g ( x ) , entonces se tiene que f ( x) = 0 3 3 es equivalente a resolver x = g (x) por lo tanto es necesario saber bajo que condiciones es conveniente este cambio.

equivalente a

DEFINICIÓN Sea g : [a, b] → IR una función, p∈ [a, b] tal que g ( p) = p se llama punto fijo de g (x )

TEOREMA1. (Existencia) Sea g : [a, b] → [a, b] una función continua, entonces g tiene punto fijo. Demostración Si g (a) = a o g (b) = b , entones, g tiene punto fijo. Si lo anterior no ocurre, entonces g (a) ≠ a y g (b) ≠ b , luego g (a ) > a y g (b) < b , sea h( x ) = g ( x ) − x , h es continua en

h(a ) = g (a ) − a > 0 y h(b) = g(b) − b < 0 , por lo tanto existe p ∈ [a, b] tal que h( p ) = g ( p) − p = 0 ⇔ g ( p ) = p

[a, b] además

TEOREMA 2 (UNICIDAD)

g : [a, b] → [a, b] una función continua y derivable en ]a, b[ , si existe una constante λ ∈ [0,1[ tal que g ' ( x) ≤ λ para todo x ∈ ]a, b[ , entonces el punto fijo es único.
Sea

Demostración Sean p y q puntos fijos de g en [a, b] tales que p ≠ q , según elteorema de valor medio existe ξ entre p y q por lo tanto en [a, b] tal que p − q = g ( p ) − g (q ) = g ' (ξ ) p − q ≤ λ p − q < p − q Lo cual es una contradicción al hecho que p ≠ q . Por lo tanto p = q TEOREMA 3 que existe una constante λ ∈ [0,1) tal que g ' ( x) ≤ λ para todo x ∈ ]a, b[ , Entonces para cualquier p 0 ∈ [a, b] , la sucesión único punto fijo p ∈ [a, b] . Sea g : [a, b] → [a, b] unafunción continua y derivable en ]a, b[ , además suponga

{pn }∞=0 n

, definida por g ( p n −1 ) = p n , n ≥ 1 converge al

Demostración Por teorema del valor medio se tiene existe ξ n ∈ ]a, b[
p n − p = g ( p n −1 ) − g ( p ) = g ' (ξ n ) p n −1 − p ≤ λ p n −1 − p Al aplicar esta desigualdad inductivamente se obtiene p n − p ≤ λ p n −1 − p ≤ λ2 p n − 2 − p ≤ ⋅ ⋅ ⋅ ≤ λn p 0 − p
n→∞ n →∞Como λ ∈ ]0,1[ , entonces lim p n − p ≤ lim λn p 0 − p = 0 Y {p
∞ n n =0

}

converge a p

TEOREMA 4 Suponga que g ∈ C 1 [a, b] , p ∈ [a, b] tal que g ( p ) = p y g ' ( p ) < 1 . Entonces existe

ε > 0 tal que para todo g ( p n −1 ) = p n , converge a p .
Demostración ejercicio

p 0 ∈ ] p − ε , p + ε [ , las sucesión

{pn }∞=0 n

definida por

Nos interesa conocer condicionesbajo las cuales es conveniente el cambio del problema de resolver f ( x) = 0 por otro equivalente g ( x ) = x , es razonable pensar que depende de la rapidez de convergencia de un método respecto del otro. Supongamos que g ∈ C k +1 [a, b ], que para

p ∈ [a, b] se tiene g ( p) = p y

g ' ( p ) < 1 , efectuando un desarrollo de Taylor de g (x) , en torno a x = p tenemos que:

g ( x) = g ( p ) +g ' ( p )( x − p) +

1 1 g ' ' ( p )( x − p ) 2 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + g ( k ) ( p )( x − p) k 2 k!

1 g ( k +1) (ξ x )( x − p ) k +1 , (k + 1)!

ξ x entre x y p

Sea x = x n , e n = x n − p , como g ( p) = p y g ( x n ) = x n +1 de la relación anterior se sigue que

1 1 1 2 k k x n +1 = p + g ' ( p )e n + g ' ' ( p )en + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + g ( k ) ( p )en + g ( k +1) (ξ xn )en +1 ξ x entre x n y p n 2 k!(k + 1)! Por lo tanto 1 1 1 2 k k en +1 = g ' ( p )e n + g ' ' ( p )en + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + g ( k ) ( p)en + g ( k +1) (ξ xn )en +1 (k + 1)! 2 k! Caso1 Supongamos que k = 0 , g ' ( x) ≠ 0 para toda x ∈ [a, b] , entonces de la relación anterior se tiene que: en +1 = g ' (ξ xn )e1 , tomando límite se tiene: n

lim

en +1 = lim g ' (ξ xn ) = g ' ( p ) n→∞ e n →∞ n

Luego para n suficientemente...