Ecuación diferencial del tipo de cambio

Modelo de sobrerreacción del tipo de cambio

Las ecuaciones del modelo son las siguientes [Dornbusch, 1976]:
(1). rt=r*+et
(2). h-pt=-λ⋅rt+φ⋅y
(3). pt=π⋅u+κ⋅et-pt-σ⋅rt+γ+y+f⋅y*-y

El significado de cada una de las variables se indica a continuación:
e : logaritmo natural del tipo de cambio nominal.
r: tasa nominal de interés doméstica.
r*: tasa nominal de interés extranjera, se asumefija.
h : logaritmo natural de la cantidad nominal de dinero.
p : logaritmo del nivel de precios.
ē : tipo de cambio de equilibrio a largo plazo.
y : producto bruto doméstico en términos reales, se asume constante en el nivel de pleno empleo para todo instante de tiempo.
y* : producto bruto extranjero en términos reales, se asume fijo.

Los parámetros funcionales λ, σ, φ, π, u, f, κ y γ son todospositivos.Supondremos π=1. Un punto sobre una variable indica su derivada con respecto al tiempo.

El país doméstico es pequeño en el mercado mundial de capitales y, por lo tanto, enfrenta una tasa de interés extranjera dada. La primera ecuación establece la condición de equilibrio para el mercado de valores en condiciones de movilidad de capitales y perfecta sustitución entre activos domésticos yextranjeros una vez ajustado el diferencial de rendimiento por la tasa esperada de depreciación.

La segunda ecuación es la condición de equilibrio para el mercado de dinero, dada por la igualdad entre oferta y demanda de saldos monetarios reales. La demanda de dinero es una función lineal de la tasa de interés doméstica y del ingreso real. Se asume previsión perfecta en el mercado de activosfinancieros. En el mercado de bienes el producto doméstico es un sustituto imperfecto de las importaciones. El nivel de precios de los bienes importados se encuentra dado.

La tercera ecuación describe el comportamiento del nivel de precios doméstico cuando el mercado de bienes se encuentra en desequilibrio. La demanda, yd=u+κ⋅e-p-σ⋅r+γ⋅y+f⋅y*, depende negativamente del precio relativo de los bienesdomésticos y de la tasa nominal de interés mientras positivamente de los niveles de producto doméstico y extranjero. La oferta de bienes se supone fija: ys=y

Este sistema de tres ecuaciones determina valores o senderos de equilibrio de largo plazo para e, p y r dada cierta función del tiempo para la oferta nominal de dinero, h=hs.

Solución particular en el caso de una perturbación permanente yanticipada

El estudio de la trayectoria que siguen el tipo de cambio, el nivel de precios y la tasa de interés ante un aumento de la oferta monetaria es uno de los ejercicios principales en este modelo.

Analicemos, como en Wilson [1979], los efectos de un cambio anticipado en la cantidad de dinero. Supongamos que en el instante t0' se anuncia que un período futuro t1 el banco central expandirála cantidad nominal de dinero en ∆h . Este tipo de ejercicios es usual en los modelos con previsión perfecta. En un contexto donde los agentes conocen el modelo, es decir, las ecuaciones y los valores de sus parámetros, y utilizan toda la información disponible para formar sus expectativas se pueden analizar los efectos de un cambio anticipado en alguna variable exógena [Blanchard y Fischer, 1989,pp. 214-215].

El sistema de ecuaciones (1)-(3) puede reducirse al estudio de otro sistema pero de un orden inferior reemplazando la ecuación (2) en las dos restantes. Operando de esta forma, y volviendo a expresar el modelo en términos de desviaciones con respecto a los valores de equilibrio iniciales de largo plazo (h(s) ≡ h ), el sistema de ecuaciones diferenciales que describen aquel proceso apartir de t0' viene dado por:

(4). wz =0λ-1κ-(κ+λ-1⋅σ)⋅ wz + -λ-1⋅H(s-t1)⋅∆hλ-1⋅σ⋅H(s-t1)⋅∆h s∈t0',+∞

Donde z≡p-p, w≡e-e y H(s-t1) es la función de Heaviside o “salto unidad”. Esta última función se ha introducido para describir la perturbación permanente que ocurre en el instante t1. Eliminando una ecuación del sistema y teniendo presente que la derivada generalizada de la función...