Ecuación canónica de una elipse
Páginas: 2 (367 palabras)
Publicado: 17 de junio de 2014
Ecuación canónica de una elipse
Para obtener la ecuación canónica o ecuación reducida de la elipse situemos un sistema de coordenadas cartesianas con origen O en el punto medio del segmento FF yeje de abscisas en la dirección de la recta que une los focos. En este sistema de referencia las coordenadas de los focos son F(c, 0) y F (– c, 0). Si ahora P (x, y) es un punto cualquiera de laelipse aplicando la fórmula de la distancia entre dos puntos:
[2]
De [1] y [2] resulta que la relación
[3]
es una condición necesaria y suficiente para que el punto P (x, y) esté situado enla elipse. Eliminando los radicales después de elevar al cuadrado y simplificar los términos semejantes se llega a la ecuación
[4]
donde hemos puesto b² = a² – c².
Las coordenadas de todopunto P (x, y) de la elipse satisface la ecuación [4] obtenida de la ecuación [3]. Pero como toda transformación algebraica ligada a la eliminación de radicales es susceptible de hacer aparecer raícesextrañas, debemos asegurarnos que todo punto P cuyas coordenadas x e y satisfacen la ecuación [4] está sobre la elipse. Para ello es suficiente demostrar que los radios vectores segmentos PF y PF detodo punto P verifican la condición [1]. Supongamos entonces que las coordenadas de un punto P (x, y) satisfacen la ecuación [4]. Despejando y² en [4] y sustituyendo en la expresión [2] de PF, seobtiene, después de unos cuantos cálculos elementales:
y como el radicando es positivo, se concluye que
De forma análoga se establece que
Por lo tanto, para el punto P considerado se tiene quees decir
y el punto P considerado se encuentra sobre la elipse. La ecuación [4] se denomina ecuación canónica de la elipse.
Como la ecuación [4] sólo contiene potencias pares de lasvariables x e y, la curva es simétrica con respecto a los ejes de coordenadas, y con respecto al origen. El punto O es el centro de la elipse.
Si trasladamos los ejes paralelamente de forma que el origen sea...
Para obtener la ecuación canónica o ecuación reducida de la elipse situemos un sistema de coordenadas cartesianas con origen O en el punto medio del segmento FF yeje de abscisas en la dirección de la recta que une los focos. En este sistema de referencia las coordenadas de los focos son F(c, 0) y F (– c, 0). Si ahora P (x, y) es un punto cualquiera de laelipse aplicando la fórmula de la distancia entre dos puntos:
[2]
De [1] y [2] resulta que la relación
[3]
es una condición necesaria y suficiente para que el punto P (x, y) esté situado enla elipse. Eliminando los radicales después de elevar al cuadrado y simplificar los términos semejantes se llega a la ecuación
[4]
donde hemos puesto b² = a² – c².
Las coordenadas de todopunto P (x, y) de la elipse satisface la ecuación [4] obtenida de la ecuación [3]. Pero como toda transformación algebraica ligada a la eliminación de radicales es susceptible de hacer aparecer raícesextrañas, debemos asegurarnos que todo punto P cuyas coordenadas x e y satisfacen la ecuación [4] está sobre la elipse. Para ello es suficiente demostrar que los radios vectores segmentos PF y PF detodo punto P verifican la condición [1]. Supongamos entonces que las coordenadas de un punto P (x, y) satisfacen la ecuación [4]. Despejando y² en [4] y sustituyendo en la expresión [2] de PF, seobtiene, después de unos cuantos cálculos elementales:
y como el radicando es positivo, se concluye que
De forma análoga se establece que
Por lo tanto, para el punto P considerado se tiene quees decir
y el punto P considerado se encuentra sobre la elipse. La ecuación [4] se denomina ecuación canónica de la elipse.
Como la ecuación [4] sólo contiene potencias pares de lasvariables x e y, la curva es simétrica con respecto a los ejes de coordenadas, y con respecto al origen. El punto O es el centro de la elipse.
Si trasladamos los ejes paralelamente de forma que el origen sea...
Leer documento completo
Regístrate para leer el documento completo.