Ecuación de Clairaut

Ecuación de Clairaut
Suponga que es una función real. Si la recta tangente a la gráfica de la función en este punto está dada por




Observe que esta ecuación es una familia de curvasuniparamétricas con parámetro . Entonces podemos encontrar una ecuación diferencial cuya solución general sea esta familia de curvas. Si y tiene una inversa cerca de , entonces y podemos reescribir laecuación de la recta tangente como



La cual es la ecuación diferencial buscada. A este tipo de ecuaciones se les conoce como ecuaciones de Clairaut 1.3.
 
 
 
 Definición [Ecuación deClairaut]
 
Una ecuación diferencial de primer orden que puede escribirse en la forma




se conoce como ecuación de Clairaut . Donde es una función continuamente diferenciable.  
 
El interésque presenta este tipo de ecuación se debe al hecho de que tiene como solución a una familia de rectas. Además, la envolvente, es decir, la curva cuyas tangentes están dadas por la familia , tambiénes solución, en este caso una solución singular, de la ecuación de Clairaut.
 
 
 
 Teorema[Solución de la ecuación de Clairaut]
 
a ecuación de Clairaut


(1.18)


donde es unafunción derivable, tiene como solución general y como solución singular


 
 


Demostración
Para resolver la ecuación 1.18 hacemos la sustitución para obtener


(1.19)


Derivando amboslados respecto a
 



de donde obtenemos que




Surgen dos casos
Caso 1:
Si , entonces y sustituyendo en la ecuación 1.19 obtenemos la solución general .
Observe que la solucióngeneral se obtiene simplemente sustituyendo en la ecuación 1.18 por .
Cso 2:
Si , entonces y sustituyendo en la ecuación 1.19 , es decir




Estas son las ecuaciones paramétricas de una curvadonde es el parámetro. Observe que esta solución no es un caso particular de la solución general, por lo que se trata de una solución singular.
 
Ejemplo:
Resuelva la ecuación diferencial...