Ecuación De La Curva De Lorenz

Ecuación de la curva de Lorenz
Si se conoce la distribución de la renta como densidad de probabilidad para cada valor de renta, la curva de Lorentz puede encontrarse analíticamente en función deesta. La proporción de personas o unidades familiares con una renta inferior a un nivel de renta r viene dada por:
(1)
Mientras que la proporción de renta acumulada por las personas con rentas igualeso inferiores a r viene dada por:
(2)
Donde es la renta media. Las ecuaciones (1) y (2) constituyen juntas las ecuaciones paramétricas de la curva en función del parámetro r.
[editar] PropiedadesLa curva de Lorenz tiene pendiente positiva en todos sus puntos como se deduce de la siguiente relación:
(3)
En el punto inicial la pendiente será nula (aun en el caso el límite anterior siguesiendo válido, pero en el resto de puntos será estrictamente positiva.
Además la curva de Lorenz es cóncava ya que su derivada segunda siempre es positiva:
(4)
[editar] Ejemplo 1
En esta seccióncalculamos la curva de Lorenz y el índice de Gini para una disttibución de renta exponencial. Aunque ésta no parece una distribución adecuada para la renta nacional de ningún país, la sencillez de lasexpresiones obtenidas permite entender de modo sencillo la aplicación de las ecuaciones (1) a (4). Para un país con una renta nacional media con una distribución exponencial la densidad de probabilidadde la distribución será:

Esta expresión permite calcular la proporción de personas por debajo de una cierta renta y la renta acumulada de ese grupo de personas fácilmente:

Despejando de laprimera ecuación y substituyendo el resultado en la segunda se obtiene la curva de Lorenz explícitamente:

El índice de Gini se puede calcular simplemente como:

Este es el valor exacto. Cuando paracalcular este valor en lugar de una distribución continua se usa un cálculo aproximado por decilas en cambio resulta sólo .
[editar] Ejemplo 2

Índice de Gini para diferentes curvas de Lorenz...