Ecuación de la Laplace

UNIVERSIDAD NACIONAL DE
INGENIERIA
FACULTAD DE INGENIERIA INDUSTRIAL
Y DE SISTEMAS

Ecuaciones de Equilibrio
Integrantes:
Giraldo Salinas, Lizbeth Carol 20081172F
Zelada Mariluz, Kevin Aar´n 20101083C
o
Guizado Rios, Jos´ Antonio 20110201E
e
Ar´valo Ram´
e
ırez, Leandro 20102074H
´
D´ Esquivel, Luis Angel 20112072H
ıaz
Machicao Atao, Gonzalo 20100157C
Ramos Zorrilla,AngelicaIsabel 20102577J
05 de Octubre del 2013
2

3

´
Indice general
1. Introducci´n
o

2

2. Ecuaciones de Equilibrio

3

2.1. Ecuaci´n de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o

3

2.2. Propiedades B´sicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a

8

3. Problemas de Aplicaci´n
o

10

3.1. Potencial de condensadores . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 10
4. Conclusiones

12

5. Bibliograf´
ıa

13

1

Cap´
ıtulo 1
Introducci´n
o
La modelaci´n matem´tica ha empezado a cobrar fuerza muy esencial al
o
a
saber relacionar el estudio de diferentes ciencias, tales como: biolog´ f´
ıa, ısica,
qu´
ımica, con la matem´ticas, haciendo de ellas un aprendizaje m´s signifia
a
cativo. De esta manera la modelaci´n matem´
oıatica se muestra como un eje
medular en la predicci´n o toma de decisiones respecto de fen´menos sociales
o
o
o naturales ya que una buena interpretaci´n de un modelo matem´tico ayuo
a
dar´ a tener buenos resultados futuros, de lo contrario las p´rdidas pueden
a
e
ser grandes.
En la actualidad, la utilizaci´n de modelos matem´ticos en plagas y enfermeo
a
dades de los cultivos, puedenabarcar aspectos muy variados y amplios. Sin
embargo, los mayores esfuerzos se han centrado en los modelos de poblaci´n
o
en el tiempo y/o espacio.

2

Cap´
ıtulo 2
Ecuaciones de Equilibrio
2.1.

Ecuaci´n de Laplace
o

Es el prototipo de la ecuaci´n el´
o
ıptica, es una de las ecuaciones b´sicas
a
de las matem´ticas.
a
Supongamos que las condiciones en la frontera ∂Ω son fijos yno dependen
del tiempo, y las fuentes, si est´n presentes, son independientes del tiempo.
a
Entonces, despu´s de mucho tiempo se espera que los efectos de la condici´n
e
o
inicial de la regi´n Ω decaer´ de distancia, dando un estado de equilibrio
o
a
µ = µ(x) que satisface una ecuaci´n de tipo estado estacionario. Considere
o
el problema inicial de contorno para la ecuaci´n de difusi´n:o
o

µ(x, t) = g(x), x ∈ δΩ, t > 0.
µ(x, t) = g(x), x ∈ δΩ, t > 0.
µ(x, 0) = µ0 (x), x ∈ Ω, t > 0.

3

En el largo plazo podemos esperar que los efectos de los datos iniciales sean
pequeos y una soluci´n de equilibrio µ = µ(x) a emerger que satisface el
o
problema de equilibrio:
−D∆µ = f (x), x ∈ Ω..........(1)
µ(x) = g(x), x ∈ δΩ.............(2)
Ecuaci´n (1) es la ecuaci´n dePoisson. Si no hay fuentes, entonces la ecuacin
o
o
(1) se reduce a:
∆µ = 0, x ∈ Ω.....................(3)
que es la ecuaci´n de Laplace. Esta ecuaci´n diferencial parcial es posibleo
o
mente la ecuaci´n m´s analizada en el an´lisis. Tambi´n se plantea en muchos
o
a
a
e
otros escenarios naturales.

Los lectores que han estudiado an´lisis complejo pueden recordar que la
a
ecuaci´n deLaplace en dos dimensiones se satisface por tanto las partes real
o
e imaginaria de un funci´n anal´
o
ıtica F (z) = µ(x, y) + iν(x, y) en un dominio
Ω en el plano complejo, es decir, ∆µ es decir (µx + µy = 0) y ∆ν = 0 en Ω.
Por lo tanto la ecuacin de Laplace juega un papel importante en el an´lisis
a
complejo.

Estas ecuaciones tambi´n surgen de manera natural en la teor´ del poe
ıatencial. Por ejemplo, si E es un campo el´ctrico est´tico en Ω inducida por
e
a
las cargas que se encuentran fuera Ω, entonces

w × E = 0. Si V(x) es una

funci´n potencial, lo que significa E = − V entonces se deduce que la funo
ci´n potencial F satisface la ecuaci´n de Laplace.
o
o

4

Ecuaci´n de Laplace es tambi´n importante en la mec´nica de fluidos y
o
e
a
muchas otras...