Ecuación De La Recta En Forma Normal

Ecuación de la recta en la forma normal.
La recta L queda determinada por la longitud de su perpendicular trazada desde el origen y el ángulo positivo W que la perpendicular forma con el eje de las x.
La perpendicular OA a la recta L, representada por  P, se considera siempre positiva por ser una distancia. EI ángulo W engendrado por OA
varia de 0° ≤ W < 360°.Si damos valores a p y W, larecta L trazada por  A(x1, y,)
queda determinada por la ecuación de la recta en su forma normal 
que se obtiene en la forma siguiente

Observando la figura anterior, tenemos:

Cos w= x1/p sen w=y1/p
Despejado:
X1= (Cos w)(P) Y1=(sen w)(P)
Sustituimos los dos valores anterioresen
A=(x1 , y1 ),

con lo cual obtenemos las coordenadas del punto A, que son:
A=(P cos w, P sen w)

Par su parte, la pendiente m de OA es:
m=tan w
Como la recta L es perpendicular a la recta GA, sus pendientes están relacionadas con
m1= -1/m2
es decir, la recíproca con signo cambiado. Como ya sabemos que la pendiente de OA es tan w, la inversa de esta función con signo cambiado de larecta L perpendicular a GA es:
-cot w

De donde:
m=-cot w = Cos w/Sen w
Sustituyendo en la ecuación de la recta en su forma punto-pendiente los valores de x1, y1 y de m, queda
Y-y1=m(x-x1)

Y- p sen w= - Cos w/ Sen w (X- P cos w)

Quitamos el denominador sen w y desarrollamos:

Y sen w – P sen² w = - cos w( x – p cos w)

Y sen w – p sen²w= -x cos w + p cos² w
Agrupamos:
X cos w+ysen w= p cos²w+p sen²w

Factor izamos:
X cos w+ Y sen w= p (cos ² w+ sen ² w)

Aplicamos la identidad pitagorica :
cos²w +sen ² w = 1
sustituimos:
x cos w + y sen w = p(1)
Siendo así:
Xcos w+ Ysen w – P =0

Forma normal de la ecuación de la recta.
Relación en la que w y p son las constantes arbitrarias o parámetros, y el valor de sen w y cos w puede ser  positivo o negativo, deacuerdo con el cuadrante en que este el lado terminal del ángulo w. Recordando el círculo geométrico, tenemos:

Ejemplo: determina la ecuación normal de la recta, con W= 60° y P=3 y grafica
Solución:
Sustituimos en:
Xcos w+ y sen w –P = 0
X cos 60°+ y sen 60° -3=0
Como: cos 60= ½, sen 60 = √3/2
x/2 + √3/2 y – 3= 0
x + √3 y – 6 = 0

Como obtener la formula normal a través de la general:Con Ax + By + C=0 , siendo K una constante distinta de cero, se procede a dividir cada termino entre K:
Ax/K + By/K + C/K =0
Identificando esta expresión con la forma normal obtenemos
Cos W = A/K , Sen w= B/K , -P=C/K , P=C/K
Elevamos al cuadrado:
Cos w = A/K obtenemos Cos²w= A²/K²
Sen w= B/K obtenemos Sen ²w=B²/K²
Sumamos miembro a miembro de laigualdad
Cos²w + Sen ² w = A²/K²+ B²/K²
Como Cos²w+Sen²w=1 entonces
1=A²/K² + B²/K²
Quitamos el denominador y despejamos K
K²=A²+B² ; K= √A²+B²
Luego de sustituir el valor de K nos queda:
(Ax/±√A²+B²) +(By/±√A²+B²) + C/±√A²+B² = 0

*para escoger el signo que se tomara en la raiz cuadrada, se usa el signo contrario que se antepone a el valor de C, y en que caso de que este sea 0, se toma elsigno que se antepone al valor de B
Ejemplo:
Determina la forma normal de al recta 12x- 5y -52, así como los valores de P. W, y traza la grafica:
(Ax/±√A²+B²) +(By/±√A²+B²) + C/±√A²+B² = 0
A= 12, B=-5, C=-52 ; √A²+B² = √169 = 13 (como el signo que antecede a C es “-“ tomamos el signo positivo del radical.
12x/13 – 5y/13 – 52/13 = 0
12x/13 – 5y/13 – 4 = 0
Donde :
Cos w= 12/13, Sen w =-5/13
P= |-4|; P = 4
Cosw = 12/13 ; .9230 Senw = -5/13 ; -.3846
Cos w = -22°37°° Sen w= -22°37°°
(como el seno es negativo y el coseno positivo, debe estar en el 4to cuadrante por lo tanto se le suma 360°)
W= -22°37°° + 360°
W= 337°22°

Ejemplos:
3.-
Usando la forma general, determine la ecuación de la recta que pasa por los puntos P1 (-1, -4) y P2 (5, 1) |
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