Ecuación de la Recta

Ecuaciones en Nuestra Vida

Muchas situaciones de la vida diaria pueden plantearse como ecuaciones de la recta. A modo de ejemplo voy a crear la ecuación de la recta de “La cantidad que se compra de Pan en mi casa, según la cantidad de personas que se encuentran en esta”.

Desarrollo: “En mi casa cada persona se come dos panes al día, además, mi madre siempre compra tres panes extra paraque la bolsa del pan nunca quede vacía”

Es decir, vamos a crear la función P(n) que representa la cantidad de pan a comprar, y “n” la cantidad de personas que se encuentran en la casa.

Con una persona en la casa la cantidad de pan a comprar sería:

P(1) = 2(1) + 3 = 5 , de la misma forma

P(2) = 2(2) + 3 = 7
P(3) = 2(3) + 3 = 9
P(4) = 2(4) + 3 = 11

Por lo tanto podemos deducir queP(n) = 2n + 3 representa la cantidad a comprar cuando en mi casa se encuentran “n” Personas.

De esta forma Y = 2x + 3 representa la ecuación de la recta, la cual nos muestra la cantidad de pan que debe comprarse en mi casa.

Gráficamente:



De la misma forma, en la casa de Pedro el promedio de panes por persona es de 3, pero su madre compra solo un pan extra, es decir:

P(1) = 3(1) + 1 =4
P(2) = 3(2) + 1 = 7
P(3) = 3(3) + 1 = 10

Por lo tanto

P(n) = 3(n) + 1

Finalmente la ecuación de la recta que representa la cantidad de pan en la casa de Pedro es:

Y = 3x + 1

Gráficamente:





Pregunta:

¿Existe alguna cantidad de personas con la cual en ambas casas deba comprarse la misma cantidad de pan?

Análisis






Para saber qué valor de “x” cumplecon que los valores de “Y” sean el mismo, igualamos ambas ecuaciones, encontrando el valor de “x”

3x + 1 = 2x + 3
3x – 2x = 3 – 1
x = 2

Esto significa que cuando en cada casa hay dos personas debe comprarse la misma cantidad de pan.

Confirmando

En casa de Pedro
Y = 3(2) + 1 = 6 + 1 = 7

En mi casa
Y = 2(2) + 3 = 4 + 3 = 7Como vemos, en ambas casas, cuando hay 2 personas deben comprarse 7 panes. En otras palabras el punto de intersección de ambas ecuaciones de recta es el punto P(2,7).
Gráficamente:


Ecuación de la recta

En las secciones anteriores vimos que los gráficos de la función lineal f(x): mx + n tenían como gráfico una línea recta. Pero, si tenemos la gráfica, veamos ahora cómo podemos determinarla ecuación-
Observar los siguientes gráficos:



Si construimos las tablas de valores correspondientes a los gráficos, obtenemos:

 

La relación entre x e y en cada tabla las podemos expresar:
Y = 2x y = 2x + 2 y = 2x – 1

Observemos los gráficos:

1. En el gráfico # 1, la recta pasa por el origen.

2. En el gráfico # 2, la recta no pasa por el origen, pero intersecta al eje ysobre el eje x, en el punto (0,2).

3. En el gráfico # 3, la recta no pasa por el origen, pero intersecta al eje y bajo el eje x, en el punto (0, -1)

Calculemos la pendiente de cada una de estas rectas. Para esto elijamos dos puntos cualesquiera que estén en la recta y reemplacémoslos en la fórmula:


 

Si para la recta del primer gráfico elegimos los puntos (-1, -2) y (1,2), tenemos:Si para la recta del segundo gráfico elegimos los puntos
(-1,0) y (1, 4), tenemos:




Si para la recta del tercer gráfico elegimos los puntos (0, -1) y (2,3), tenemos:




Luego la pendiente de las tres rectas es 2.


Como podrán observar, una recta siempre la podemos escribir con una ecuación de la forma y = mx + n, donde m y n son números reales. Esta forma de representaruna recta se llama 


Ecuación principal de la recta.



 

Para esto, primero construimos la tabla de valores correspondiente:



 

Ecuación de la recta
(Segundo medio)
Para entrar en esta materia y para entender lo que significa la Ecuación de la Recta es imprescindible estudiar, o al menos revisar, lo referido a Geometría analítica y Plano cartesiano.
La idea de línea...