Ecuación de Segundo Grado

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Guía Matemática
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
´
profesor: Nicolas Melgarejo

.cl

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1.

Ecuaci´n de segundo grado
o

Es una igualdad donde la variable inc´gnita est´ al cuadrado, la cual puede tener 2 soluciones difeo
a
rentes, 1 soluci´n o ninguna soluci´n.
o
o

1.1.

Completa

En su manera m´s completa la podemos escribir as´
a
ı
0 =ax2 + bx + c
donde a, b, c son constantes que pertenecen a R con a = 0. Las soluciones o ra´
ıces de una ecuacion de
segundo grado se pueden hallar mediante las expresiones:
√
√
−b + b2 − 4ac
−b − b2 − 4ac
x1 =
x2 =
2a
2a
Estos dos resultados se resumen as´
ı:
√
−b ± b2 − 4ac
x=
2a
Esta expresi´n se conoce como soluci´n general de la ecuaci´n cuadr´tica. A la cantidad subradicalo
o
o
a
b2 − 4ac se llama discriminante y se designa con la letra ∆. El discriminante ∆ determina el n´mero de
u
soluciones que tiene una ecuaci´n cuadr´tica.
o
a
Si ∆ > 0 la ecuaci´n cuadr´tica tiene dos soluciones reales diferentes. Esto se debe a que el t´rmino
o
a
e
√
∆ de la soluci´n general existe.
o
Si ∆ = 0 la ecuaci´n cuadr´tica tiene dos soluciones reales iguales. Estose debe a que el t´rmino
o
a
e
√
∆ de la soluci´n general se cancela.
o
√
Si ∆ < 0 la ecuaci´n cuadr´tica no tiene soluci´n real. Esto se debe a que el t´rmino ∆ de la
o
a
o
e
soluci´n general no es un n´mero real.
o
u

 Ejemplo
1. Hallar las soluciones de x2 − 4x + 2 = 0
Soluci´n: Considerando una ecuaci´n del tipo ax2 + bx + c = 0, los coeficientes son a = 1, b = −4
o
o
y c= 2. Ahora aplicamos la soluci´n general de la ecuaci´n de segundo grado.
o
o
√

b2 − 4ac
2a
−(−4) ± (−4)2 − 4 · 1 · 2
=
2·1
√
4 ± 16 − 8
=
2
√
4±2 2
=
2
√
=2± 2
√
√
Las soluciones son x1 = 2 + 2 y x2 = 2 − 2.
x=

−b ±

2

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2. ¿Qu´ valores satisfacen la igualdad −4x2 + 8 = 12x?
e
Soluci´n: Si queremos usar la soluci´n general debemos reescribir laigualdad a una del tipo
o
o
0 = ax2 + bx + c
Despejamos todo igualando a cero:
−4x2 + 8 = 12x
0 = 4x2 + 12x − 8
0 = 4(x2 + 3x − 2)
0 = x2 + 3x − 2
En el ultimo paso simplificamos la ecuaci´n dividiento todos los t´rminos por 4. Ahora los coeficientes
´
o
e
son a = 1, b = 3 y c = −2, por lo tanto las soluciones son:
√

b2 − 4ac
2a
−3 ± 32 − 4 · 1 · (−2)
=
√ 2·1
−3 ± 9 + 8
=
2√
−3 ± 17
=
2
√
√
3 + 17
17 − 3
y x2 = −
.
Las soluciones son x1 =
2
2
x=

1.1.1.

−b ±

Resoluci´n mediante factorizaci´n
o
o

Las ecuaciones cuadr´ticas pueden resolverse mediante la factorizaci´n de sus t´rminos aplicando alg´n
a
o
e
u
producto notable. Para entender el fundamento de este m´todo estudiemos los siguientes ejemplos:
e

 Ejemplo
Resuelve cada una delas siguientes ecuaciones cuadr´ticas usando la factorizaci´n.
a
o
1. x2 + 2x + 1 = 0
Soluci´n: Notemos que x2 + 2x + 1 corresponde al cuadrado de binomio de x + 1, por lo tanto:
o
x2 + 2x + 1 = 0
(x + 1)2 = 0
(x + 1)(x + 1) = 0
Tenemos un t´rmino, x + 1, que multiplicado por s´ mismo es igual a cero, entonces no queda otra
e
ı
que ese t´rmino sea igual a cero.
e
x+1=0
Despejando lainc´gnita obtenemos que x = −1.
o

3

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2. x2 − 5x + 6 = 0
Soluci´n: Nuestro objetivo es buscar una factorizaci´n para x2 − 5x + 6. Notar que lo podemos
o
o
factorizar de la forma (x + a)(x + b) pregunt´ndonos, ¿qu´ n´meros multiplicados dan 6 y sumados
a
e u
−5? La respuesta es −2 y −3, por lo tanto la factorizaci´n ser´ (x − 2)(x − 3):
o
a
x2 − 5x + 6 = 0
(x −2)(x − 3) = 0
Tenemos los t´rminos x − 2 y x − 3 que multiplicados dan cero, y la unica manera en que puede
e
´
ocurrir eso es que al menos uno de ellos sea igual a cero.
(x − 2)(x − 3) = 0 ⇐⇒ x − 2 = 0 ´ x − 3 = 0
o
Si x − 2 = 0 enrtonces x = 2, pero si x − 3 = 0 entonces x = 3. Con esto hemos encontrado las dos
soluciones para la ecuaci´n de segundo grado anterior. La notaci´n como...