Ecuación diferencial de resorte

Introducción

Ley de Hooke

Suponga que un resorte se suspende verticalmente de un soporte rígido y luego se le fija una masa m su extremo libre.

La cantidad de elongación del resorte dependede la masa.

Por la ley de Hooke, el resorte mismo ejerce una fuerza restauradora 𝑇 opuesta a la dirección de la elongación y proporcional a la cantidad de elongación y se expresa simplemente:𝑇=𝑘𝑠

*Donde K es una constante de proporcionalidad llamada Constante de resorte.

Desarrollo

Problema 11, bloque 5.1

Una masa que pesa 64 libras alarga 0.32 pies un resorte. Al inicio lamasa se libera desde un punto que está 8 pulgadas arriba de la posición de equilibrio con una velocidad descendente de 5 pies/s.

Planteamiento del problema

Cuando un resorte esta en equilibrioestático, las fuerzas que actúan sobre él son W y T.

Para que este en equilibrio:

𝑊−𝑇 = 0 ⇒ 𝑊 = 𝑇

T es la fuerza restauradora del resorte

𝑊 = 𝑘𝑠

Suponga que la masa se desplazadesde una distancia 𝑋_𝑚 desde la posición de equilibrio.

𝑇 = 𝑘(𝑠+𝑥)

Entonces mi fuerza resultante es:

𝐹 = 𝑊 − 𝑇 ⇒ 𝐹 = 𝑘𝑠 – 𝑘 (𝑠 + 𝑥)

𝐹 = 𝑘𝑠 – 𝑘𝑠 − 𝑘𝑥 ⇒ 𝐹 =− 𝑘𝑥

𝐹 + 𝑘𝑥 = 0

La resultante es proporcional al desplazamiento medido desde la posición de equilibrio.

Ahora sustituyendo

𝐹 = 𝑚𝑎

𝑚𝑎 + 𝑘𝑥 = 0

Ahora considerando a la aceleracióncomo la segunda derivada de x respecto a t.



*El movimiento definido en la ecuación recibe el nombre de movimiento armónico simple, se caracteriza por el hecho de que la aceleración esproporcional al desplazamiento y de dirección opuesta




Obteniendo variables

Como 𝑊 = 𝑚𝑔 y como 𝑊 = 64 𝑙𝑏



Como 𝑇 = 𝑘𝑠



Resolviendo la Ecuación Diferencial

Sustituyendo en la EDSolución




Solución general




Resolución del problema

a) Encuentre la ecuación del movimiento

Partimos de la ecuación general:


Tomando los valores iniciales del problema...