Ecuación Diferencial De Ricatti y Bernoulli

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Ecuación de Riccati
La ecuación de Riccati es una ecuación diferencial ordinaria desarrollada en el siglo XVIII por el matemático italiano JacopoFrancesco Riccati, con el fin de analizar la hidrodinámica.
Corresponde a una ecuación de la forma:

Esta ecuación se resuelve si previamente se conoce una solución particular, digamos .
Conocidadicha solución, se hace el cambio:

Y remplazando, se obtiene:

Es decir:

lo que equivale a:

Que corresponde a una ecuación diferencial de Bernoulli.

Obsérvese que si se hace el cambioEsto nos lleva directamente a una ecuación lineal diferencial de primer orden

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Ecuación diferencial de Bernoulli
Las ecuaciones diferenciales deBernoulli son ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, formuladas por Jakob Bernoulli y resueltas por su hermano Johann, que se caracterizan por tener la forma:

Donde  y  son funcionescontinuas en un intervalo 

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Método de resolución
Caso general
Si se descuentan los casos particulares en que α=0 y α=1 y se divide la ecuaciónpor yα se obtiene:

Definiendo:

Lleva inmediatamente a las relaciones:

Gracias a esta última relación se puede rescribir como:

Ecuación a la cual se puede aplicar el método de resolución deuna ecuación diferencial lineal obteniendo como resultado:

Donde  es una constante arbitraria. Pero como Z = y1-α se tiene que:

Finalmente, las funciones que satisfacen la ecuación diferencialpueden calcularse utilizando la expresión:

Con .
Caso particular: α = 0
En este caso la ecuación se reduce a una ecuación diferencial lineal cuya solución viene dada por:

Caso particular: α = 1
Eneste caso la solución viene dada por:

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Ejemplo
Para resolver la ecuación:
(*)
Se hace el cambio de variable , que introducido en (*) da...