Ecuación diferencial lineal homogénea

Ecuación diferencial lineal homogénea
Una ecuación diferencial ordinaria lineal y homogénea es una ecuación diferencial lineal que puede ser expresada como un conjunto desumandos cada uno de los cuales es lineal en la incógnita o una de sus derivadas. El caso más sencillo se da para una función escalar de una única variable, si una ecuacióndiferencial para dicha función es homogénea entonces admitirá una representación de la forma:
(*)
Nótese que el hecho básico es que en ninguno de los miembros aparezca untérmino que sea simplemente una función de la incógnita.
Ejercicios resueltos de ecuaciones diferenciales homogéneas
EJEMPLO 1
Resolver la siguiente Ecuación DiferencialSolución
Paso1.Determinamos Homogeneidad




b) Multiplicamos la Ed resultante por un factor adecuado que nos la convierta en la forma





Paso 2.Seleccionamos la sustituciónadecuada

Tenemos:

Por tanto:



Paso 3. Desarrollamos la nueva ED (que ahora es separable y), tiene la forma:

Tenemos:





Paso4. Integramos e inmediatamente después deaplicar la fórmula de integración regresamos a las variables originales:













Por tanto, el resultado buscando es:
EJEMPLO 2
Resolver la siguiente EcuaciónDiferencial

Solución
Paso 1.Determinamos Homogeneidad
Escribimos la ED en la forma:




b) Multiplicamos la ED resultante por un factor adecuado que nos la convierta en la formaPaso 2. Seleccionamos la sustitución adecuada



Tenemos:



Por tanto:



Paso 3. Desarrollamos la nueva ED (que ahora es separable y), tiene la Forma:




Paso 4.Integramos e inmediatamente después de aplicar la fórmula de integración regresamos a las variables originales.
Tenemos:






Por tanto el resultado buscado es: