Ecuación diferencial

Ecuación diferencial
Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen derivadas de una o más funciones desconocidas. Dependiendo del número de variables independientes respecto delas que se deriva, las ecuaciones diferenciales se dividen en:
Ecuaciones diferenciales ordinarias: aquellas que contienen derivadas respecto a una sola variable independiente.
Ecuaciones en derivadasparciales: aquellas que contienen derivadas respecto a dos o más variables.
Una ecuación diferencial es una ecuación que incluye expresiones o términos que involucran a una función matemáticaincógnita y sus derivadas. Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales son:
es una ecuación diferencial ordinaria, donde  representa una función no especificada de la variable independiente , esdecir, ,  es la derivada de con respecto a .
La expresión  es una ecuación en derivadas parciales.
A la variable dependiente también se le llama función incógnita (desconocida). La resolución deecuaciones diferenciales es un tipo de problema matemático que consiste en buscar una función que cumpla una determinada ecuación diferencial. Se puede llevar a cabo mediante un método específico para la ecuacióndiferencial en cuestión o mediante una transformada (como, por ejemplo, la transformada de Laplace).

Ejercicios

La expresión es una "función primitiva" de la ecuación diferencial.
VerificaciónObservación: Al derivar la función primitiva se reproduce exactamente la ecuación diferencial.
La ecuación es homogénea ya que se puede poner en la forma :
y′=1+yx+(yx)2=f(y/x)
Por lo tanto,podemos hacer el cambio v = y/x para poner :
y′=1+v+v2⇒v+x⋅v′=1+v+v2;v′=1+v2x
y separando variables:
∫dv1+v2=∫dxx+C⇒arctanv=lnx+Co deshaciendo el cambio de variables :
arctan(yx)−lnx=C
Tenemos unaecuación homogénea en la que el cambio v = y/x nos permite escribir :
y′=y/x1+(y/x)2;v+x⋅v′=v1+v2;x⋅v′=−v31+v2
y separando variables:
∫1+v2v3⋅dv+∫dxx=C;∫dvv3+∫dvv+∫dxx=C
O lo que es igual :...