Ecuaci N De La Recta
La idea de
línea recta
es uno de los conceptos intuitivos de la Geometría
(como son también
el punto y el plano
).
La recta
se puede entender como un conjunto infinito de puntos alineados en
una única dirección. Vista en un plano, una recta puede ser horizontal, vertical
o diagonal (inclinada a la izquierda o a la derecha).La línea de la derecha podemos verla, pero a partir de los datos que nos entrega
la misma línea (par de coordenadas para A y par de coordenadas para B en
el plano cartesiano) es que podemos encontrar una expresión algebraica (una
función) que determine a esa misma recta.
Ecuación general de la recta
Esta es una de las formas de representar la ecuación de la recta.
De acuerdo a uno de los postulados de la Geometría Euclidiana, para determinar una línea recta sólo es necesario conocer dos puntos (A y B) de un
plano (en un
plano cartesiano)
, con
abscisas (x)
y
ordenadas (y)
.
Recuerden que es imprescindible dominar todos los aspectos sobre el
Plano cartesiano pues la Ecuación de la recta no tiene existencia
conceptual sin un Plano cartesiano.
Ahora bien, conocidos esos dos puntos, todas las rectas del plano, sin
excepción, quedan incluidas en la ecuación
Ax + By + C = 0
Que también puede escribirse como
ax + by + c = 0
y que se conoce como: la
ecuación general
de la línea recta, como lo afirma el
siguiente:
Teorema
La ecuación general de primer grado
Ax + By + C = 0
, donde
A, B, C pertenecen a los
números reales
(
); y en que A y B no son simultáneamente nulos, representa una línea recta.
Ecuación principal de la recta
Esta es otra de las formas de representar la ecuación de la recta.
Pero antes de entrar en la ecuación principal de la recta conviene recordar lo
siguiente:
Cada punto
(x, y)
que pertenece a una recta se puede representar en un sistema
de coordenadas, siendo
x
el valor de la abscisa e
y
el valor de la ordenada.
(x, y) = (Abscisa , Ordenada)Ejemplo: El punto
(–3, 5)
tiene por abscisa –3 y por ordenada 5.
Si un par de valores
(x, y)
pertenece a la recta, se dice que ese punto satisface
la ecuación.
Ejemplo: El punto (
7, 2
) (el 7 en la
abscisa x
y el 2 en la
ordenada y
) satisface
la ecuación
y = x – 5
, ya que al reemplazar queda
2 = 7 – 5
lo que resulta verdadero.
Recordado lo anterior, veamos ahora la
ecuación de la recta que pasa solo
por un punto conocido y cuya pendiente (de la recta) también se conoce
,
que se obtiene con la fórmula
y = mx + n
que considera las siguientes variables: un punto (
x, y
), la pendiente (
m
) y el
punto de intercepción en la ordenada (
n
), y es conocida como
ecuación
principal de la recta
(conocida también como forma simplificada, como
veremos luego).
Al representar la ecuación de la recta en su forma principal vemos que
aparecieron dos nuevas variables: la
m
y la
n
, esto agrega a nuestra ecuación
de la recta dos nuevos elementos que deben considerase al analizar o
representar una recta: la
pendiente
y el
punto de intercepción
(también
llamado
intercepto
) en el
eje de las ordenadas (y)
. Respecto a esto, en el gráfico de la izquierda,
m
representa la
pendiente de la
recta y permite obtener su grado de inclinación
(en relación a la horizontal
o abscisa), y
n
es el
coeficiente de posición,
el número que señala el punto
donde la recta
interceptará al eje de las
ordenadas (y).
Forma simplificada de la ecuación de la recta
Si se conoce la pendiente
m
, y el punto donde la recta corta al eje de ordenadas
es (
0, b
) (corresponde a
n
en la fórmula principal ya vista), podemos deducir,
partiendo de la ecuación de la recta de la forma
y − y
1 = m(x − x
1)
y – b = m(x – 0)
y – b = mx
y = mx + b
Esta es una segunda forma de la
ecuación principal de la recta
(se la llama
también...
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