ecuacienes

Métodos numéricos de ecuaciones diferenciales
Método de Euler

El Método de Euler o de las Tangentes constituye el primer y más sencillo ejemplo de
método numérico para la resolución de unproblema de valor inicial:



donde suponemos además que se verifican las hipótesis del Teorema de Picard, y en
consecuencia existe solución única para el problema.

Interpretando la e.d.o. = f(x;y) como un campo de direcciones en el plano
x - y y la condición inicial y(x0) = y0 como un punto (x0; y0) de dicho plano, podemos
aproximar la función solución y(x) por medio de la recta tangente ala misma que pasa
por ese punto:


donde se ha utilizado que la pendiente de dicha tangente es: m = (x0) y, en consecuencia: m = f(x0; y0).
Calculamos así de manera aproximada el valor de lasolución y en el punto de abscisa
x1 como:

y con este punto (aproximado) ya calculado, podemos repetir el método para obtener
otro punto aproximado (x2; y2) de la forma:


y así sucesivamente.Es habitual en este método tomar abscisas equiespaciadas, es decir, calcular la
solución aproximada en puntos de la forma: xn = xn¡1 + h = x0 + nh, siendo h el
paso del método. De esta forma seobtienen las formulas que nos determinan la solución aproximada en la forma:


Desde el punto de vista geométrico, tenemos en definitiva que el Método de Euler
aproxima a la función solución pormedio de una línea poligonal, la aproximación será
tanto peor cuanto mayor sea en número de pasos, es decir, cuanto más "lejos" nos
encontremos del punto inicial (x0; y0). Por otro lado, el errorserá evidentemente tanto mayor cuanto más grande sea el "paso" del método, h.

Métodos de Taylor
El Método de Euler que acabamos de describir no es más que un caso particular de los métodos deTaylor, que consisten de manera general en aproximar la solución por su polinomio de Taylor de un orden determinado. Partiendo por tanto del P.V.I.:



tal que presenta solución única y(x) en un...