Ecuaciiones de evolución para un caso semilienal de membranas

´ E CUACIONES DE EVOLUCI ON PARA UN CASO
SEMILINEAL DE MEMBRANAS ACOPLADAS
Pe˜ as Galezo Ramiro† n
†

Universidad del Atl´ ntico, Barranquilla, Colombia, rpegazo@yahoomail.es a

Resumen: En este documento se desrrollan las ecuaciones de evoluci´ n que modela dos membranas o
elasticas acopladas con fuerzas que dependen del tiempo, la posici´ n y velocidad. La existencia y unicidad o desoluciones se prueban con la teor´a de semigrupo de operadores fuertemente continuos. ı

Palabras clave: ecuaciones de evoluci´ n, membranas acopladas, caso semilineal o
2000 AMS Subject Classification: 21A54 - 55P54

1.

E CUACIONES DEL MODELO

El problema de evoluci´ n del que trata este trabajo corresponde a las ecuaciones que modela o un sistema de dos membranas acopladas de masas m1 y m2. En estado de reposos las membranas ocupan regiones Ω1 y Ω2 los cuales son dominios en el plano donde ∂Ω1 y ∂Ω2 son de clase C 1 . El desplazamiento de cada membrana a uno y otro lado de su estado de reposos se representar´ con u, la cual es una funci´ n de dos variables (x e y). Sobre el plano de cada mema o ´ brana se aplican tensiones por unidad de area F1 , F2 y lateralmente sobre ∂Ω1 ∪ ∂Ω2actuan fuerzas por unidasd de longitud f1 y f2 . Suponemos adem´ s que en una regi´ n S ⊂ ∂Ω1 ∪ ∂Ω2 a o las membranas se encuentran fijas a un soporte.

Figura 1: membranas acopladas

La formulaci´ n matem´ tica requiere el principio del trabajo virtual ([1], 175-176), para memo a branas, . ∫ ∂ 2 u(t, x) δWext − δWint = ρ(x) · δu(x) dx (1) ∂t2 Ω donde δWext corresponde al trabajo virtual de lasfuerzas externas ([5], 61) definido por δWext = ∫ ∫ trabajo virtual de las fuerzas internas definido como Ω F · δu dx + ∂Ω f · δu ds, y δWint es el ] [ d k∫ δWint = |∇(u + τ δu)|2 dx|τ =0 , donde k es una constante que depende del matedτ 2 Ω rial. En la ecuaci´ n (1) δu se conoce como desplazamiento virtual y ρ(x) es la densidad del o

material del que est´ compuesto la membrana que en adelantese asumira constante para caa da material. Tambi´ n se limitar´ el problema al caso de ausencia de fuerzas laterales sobre las e a membranas. Para los casos de estiramiento de membranas, los aportes del desplazamiento u en la direcci´ n del plano de las membranas son despreciables ([4], pagina 687), as´ que en lugar de u1 , u2 o ı se tomar´ n campos escalares u1 , u2 , que denoten losdesplazamientos verticales de las mema branas, y definiremos los campos escalares F1 , F2 , en lugar de F1 , F2 , respectivamente. Es decir, ui : Fi : [0, T ] × Ωi → R , (t, x) −→ ui (t, x) [0, T ] × Ωi → R , (t, x) −→ Fi (t, x,ui (t, x), ∂ui (t, x)) ∂t

Debido a la configuraci´ n del problema se cuenta con las condiciones de frontera o  u1 |Γ = u2 |Γ para todo t ∈ [0, T ], donde Γ = ∂Ω1 ∩ ∂Ω2  u1 |∂Ω1 ∩S =0, u2 |∂Ω1 ∩S = 0 para todo t ∈ [0, T ],  f1 = 0, f2 = 0

(2)

Las ecuaciones diferenciales que modelan el problema no homogeneo de membranas acopladas son  ∂ 2 ui    ρi 2 − ki ∆ui = Fi en [0, T ] × Ωi , i = 1, 2 ∂t (3) ki ∇ui · v i − fi = 0 sobre [0, T ] × {∂Ωi \ (Γ ∪ S)}   [k ∇u − k ∇u ] · v 1 − f − f = 0 sobre [0, T ] × Γ \ S 
1 1 2 2 1 2

Los calculos han sido omitidos parabrevedad del documento ( ver [3]) Supondremos que las condiciones iniciales del problema son ui (0, x) = gi (x); ∂ui (0, x) = hi (x), x ∈ Ωi i = 1, 2 ∂t (4)

2.

´ F ORMULACI ON ABSTRACTA DEL PROBLEMA

Sea H 1 (Ωi ) el espacio de Sobolev W 1,2 (Ωi ), y tomemos de H 1 (Ωi ) aquellas funciones ui ∈ H 1 (Ωi ), (i = 1, 2), cuya traza sobre ∂Ωi ∩ S es igual a cero1 , Se hace necesario definir losespacio (V, (·|·)V ), (H, (·|·)H ) como V : = {(u1 , u2 ) | ui ∈ H 1 (Ωi ), γ0 u1 |Γ = γ0 u2 |Γ , γ0 ui |∂Ωi ∩S = 0, i = 1, 2}, ((u1 , u2 )|(v1 , v2 ))V = (u1 |v1 )H 1 (Ω1 ) + (u2 |v2 )H 1 (Ω2 ) , H := L2 (Ω1 ) × L2 (Ω2 ); ((u1 , u2 )|(v1 , v2 ))H = (u1 |v1 )L2 (Ω1 ) + (u2 |v2 )L2 (Ω2 ) , Puede demostrarse que los espacios de Hilbert V y H son separables, V esta inmerso continuamente en H (V → H),...