Ecuacines Lineales

UNIDAD III ECUACIONES LINEALES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
ECUACIONES LINEALES Ecuación Es una proposición matemática de igualdad. Debe contener un signo de igualdad y una expresión matemática en ambos lados del signo. Ejemplo:

x + 4 =7 −
Cada Ecuación Lineal tiene elementos que le son propios:
• • •

Una o más variables que se abrevian mediante letras, y que representan cantidadesdesconocidas; Todas las variables están elevadas a la primera potencia, y sin multiplicarse entre sí; Se establece una igualdad. Es decir, se trata de una proposición que indica que una cantidad es igual a otra.

Ejemplos de ecuaciones que son: lineales no lineales x+3=5 x+y=2 x2 + y = 3 x + y + z = 0,5 x + z2 – xz = 9 Solución de una ecuación Es el número o números que hacen que la ecuación seauna proposición verdadera. Ecuaciones equivalentes Son dos o más ecuaciones con el mismo conjunto solución. Ecuación lineal Es aquella que se puede escribir en la forma ax + b= c, a ≠ 0 . Note que la potencia del término de mayor grado en una ecuación lineal es 1, por esta razón las ecuaciones lineales se llaman también ecuaciones de primer grado.

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Propiedad distributiva

a ( b + c ) = ab + ac

Propiedad de la adición Si a = b, entonces a + c = b + c, para cualquier a, b y c.

Propiedad de la multiplicación Si a = b, entonces a.c = b.c, para cualquier a, b y c.

Procedimiento para resolver una ecuación lineal 1. Elimine todas las fracciones multiplicando ambos lados de laecuación por el mínimo común denominador. 2. Use la propiedad distributiva para quitar todos los paréntesis. 3. Simplifique los términos semejantes en un mismo lado de la igualdad. 4. Utilice la propiedad de la adición para reescribir la ecuación de manera que todos los términos que contengan la variable queden en un lado de la igualdad y todos los términos sin variables estén en el otro lado dela igualdad. Quizá se necesite el uso repetido de la propiedad aditiva para hacer esto. La iteración de la propiedad aditiva, a la larga producirá una ecuación de la forma ax = b . 5. Use la propiedad de la multiplicación para despejar la variable. Esto dará un resultado de la forma x = algún número. 6. Verifique el resultado con la ecuación original. El proceso de solución de una ecuación puedesimplificarse observando que sumar la misma cantidad a ambos miembros de una ecuación es equivalente a realizar una transposición, lo cual significa trasladar esta cantidad al otro miembro de la ecuación cambiando su signo.

Sistemas de ecuaciones lineales con 2 incógnitas
Sistemas de ecuaciones lineales Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales. Ejemplo 16: 

12 x + 3 y = es un sistema de 2 ecuaciones con dos incógnitas 0  3x − y =

Resolver un sistema es encontrar la solución (o soluciones) común a todas ellas, o concluir que el sistema no tiene solución. 2
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Hay tres métodos algebraicos para resolverlos:

Sustitución Ejemplo 17. 

1 2 x + 3y = 0  3x − y =

De la 2ª ecuación despejamos y y la sustituimos en 1ª ecuación

1 y =3 x ⇒ 2 x + 3 ( 3 x ) =1 ⇒ 11x =1 ⇒ x = 11
Una vez encontrado el valor de una de las incógnitas se sustituye en y = 3 x para encontrar el valor de la otra incógnita:

1 3 = 3= 3  = y x   11  11
Observación. Este método es muy adecuado cuando el coeficiente de, al menos, una de las incógnitas es 1.Igualación Ejemplo 18. Resuelve el sistema:

1 2 x + 3 y =  0  3x − y =
Despejamos la misma incógnita en las dos ecuaciones y = Igualando ambas ecuaciones

1− 2x = 3 x obtenemos 3 1 − 2 x = 9 x ⇒ 1 = 11x ⇒ x =

1− 2x ; y = 3x . 3

1 11

Ahora para obtener el valor de y se procede como en el caso anterior, es decir se sustituye el valor hallado en la ecuación que más convenga....