Ecuacion de cauchy

Ecuacion de Cauchy-Euler

La misma facilidad relativa con la que fue posible encontrar soluciones explicitas de ecuaciones diferenciales lineales de orden superior con coeficientes constantes o engeneral no se consigue con las ecuaciones lineales con coeficientes variables. cuando una ED tiene coeficientes variables, lo mejor es que se puede esperar normalmente es encontrar una solucion en laforma de una serie infinita pero en este caso no se hara esto ya que la ED que resolveremos aca tiene coeficientes variables cuya solucion puede expresarse en terminos de potencia de x seno coseno yfunciones logaritmicas. ademas su metodo de solucion es bastante similar al de las ecuaciones con coeficientes constantes. 

Caso I

En una ecuacion lineal de la forma: 

' donde los coeficientes  son constantes se le conoce como una ecuacion de cauchy-euler la caracterisite de este tipo de ecuacion es que el grado k=n,n-1.....1,0 de los coeficientes coincide con elorden ñ de diferenciación   

Solucion:

La solucion de ecuaciones de orden superior se deduce de una manera analoga asimismo la ecuacion no homogenea se resuelve mediante una variacion de parametros,una vez que se determina la funcion complementaria . 
se prueba una solucion de la forma  donde m es un valor que se debe determinar. analogo a lo que sucede cuando se sustituye  en una ecuacionlineal con coeficientes constantes, cuando se sustituye , cada termino de una ecuacion CE se convierte en un polimero en m multiplicado por  ya que: 

si sustituimos  es una solucion de la ED siempreque m sea una solucion de la ecuacion auxiliar por lo que hay 3 casos distintos por considerar en funcion de si als raices de esta ecuacion cuadratica son reales y distintas reales e iguales ocomplejas. en el ultimo caso las raices aparecen como un par conjugado. 

Ejemplo Caso I:

Resuelva:  

como primer paso diferenciaremos dos veces: 

 

y lo sustituiremos en la ED: 

luego por...