Ecuacion de difusividad

y métodos de optimización con restricciones físicas en las variables. La aplicación de los mismos se realiza en dos etapas. En la primera etapa, se comparan cuatro técnicas de optimización distintas (DFP, FR, AQN, LM) con el fin de seleccionar la más efectiva en encontrar los parámetros deseados, que en este caso son porosidad y permeabilidad. Se consideran como hipotéticos datos experimentalesdistribuciones de presión en función del tiempo que se obtienen perturbando en forma estadística la solución exacta calculada por el modelo matemático. Las cuatro técnicas obtienen valores óptimos únicos para los parámetros, pero la que indudablemente muestra una mayor eficiencia en encontrarlos es AQN. Una vez elegido este método y en una segunda etapa, se lo aplica a la interpretación demediciones reales realizadas en un pozo fracturado hidráulicamente. La caída de presión medida en función del tiempo ha sido presentada por Matthews and Russelll. Con el método propuesto aquí no es necesario separar el análisis en los casos transitorio (yacimiento infinito), transitorio final y semiestacionario, sino que esta técnica ajusta la distribución completa de presión obteniendo con éxito únicosvalores de los parámetros, que en este caso son permeabilidad, factor de daño y radio de drenaje. Este método podría también usarse para el análisis de ensayos con caudales múltiples o ensayos de pozos inyectores, e incluso para el análisis de ensayos a caudales variables que no pueden ser interpretados por los métodos tradicionales.

La ecuación radial de difusividad
El flujo isotérmico ymonofásico de petróleo hacia el pozo productor ubicado en el centro de un reservorio circular está regido por la ecuación radial de difusividad que, expresada en términos adimensionales es:

donde se supone que1:
-

el reservorio es homogéneo, isótropo y tiene espesor uniforme. la porosidad y la permeabilidad son constantes. el petróleo tiene compresibilidad constante y pequeña y viscosidadconstante. se anula el producto de la compresibilidad, c, por el gradiente de presión al cuadrado: c(8pD/8?'D)2 0. Inicialmente, el flujo es nulo (la presión es uniforme):

En el borde interior el caudal de producción del pozo es constante,

El problema inverso
El proceso de estimar parámetros del reservorio a partir de datos de presión medidos durante un ensayo de pozo se conoce como problemainverso o "history matching". Para estimar dichos parámetros se construye una función objetivo como una sumatoria pesada de los cuadrados de los residuos (diferencias entre las presiones medidas durante el ensayo y las calculadas por el modelo matemático). La elección de la función objetivo más adecuada fue tratada con detalle por Carrera y Neumans. Actualmente se trata de incorporar en la funciónobjetivo toda información previa existente sobre los parámetros y a caracterizar estadísticamente dicha información. Sin embargo el propósito principal de esta presentación es la comparación entre cuatro diferentes técnicas de optimización que minimizan la función objetivo. En consecuencia, se elige la forma más simple de dicha función considerando que no existe información previa y que losparámetros son constantes (no varían espacialmente). En la siguiente sección se presentarán tres ejemplos. En el primer y segundo ejemplos se determinan la porosidad y la permeabilidad minimizando la función objetivo F,

sujeto a

donde N es el número de datos ; p: es la presión observada en el pozo y p: es la presión calculada en el pozo para el paso de tiempo i,

pD(rD = 1, tDi) se obtiene a partirde la Ec.(6) para tiempos menores que el tiempo de estabilización y a partir de la Ec. (7) para tiempos mayores; usando valores aproximados de permeabilidad y porosidad. El factor de peso wi es la inversa de la varianza del error de la medición experimental i. La Ec.(8), junto con Ec.(6) (o Ec.(7)) constituye un problema de optimización con restricciones que puede ser transformado en un...