ecuacion de euler

TEMA II.8
Ecuaci´
on Euler
Dr. Juan Pablo Torres-Papaqui
Departamento de Astronom´ıa
Universidad de Guanajuato
DA-UG (M´
exico)
papaqui@astro.ugto.mx

Divisi´on de Ciencias Naturales y Exactas,
Campus Guanajuato, Sede Noria Alta

TEMA II.8:

Ecuaci´
on de Euler

J.P. Torres-Papaqui

Ondas y Fluidos

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Ecuaci´on de Euler

De la din´amica se sabe que el movimiento de un cuerpo estagobernado
por la segunda ley de Newton, F = ma.
Las fuerzas se deben a la presi´
on y la gravedad principalmente.
Considere el elemento de fluido cil´ındrico situado entre dos l´ıneas de
corriente (ver Figura II.8.1a).
Se puede tomar este elemento como “cuerpo libre” en el cual la presencia
del fluido circundante se remplaza por fuerzas de presi´on que act´
uan sobre
el elemento.

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Ecuaci´on de Euler

Figura II.8.1: Diagrama de “cuerpo libre” para un elemento de fluido con
aceleraci´
on en la direcci´
on l. a) Elemento de fluido. b) Relaci´on trigonom´etrica

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Ecuaci´on de Euler

Aqu´ı el elemento se acelera en al direcci´
on l.
Observe que eleje de coordenadas z es verticalmente hacia arriba y que la
presi´
on var´ıa a lo largo de la longitud del elemento.
Aplicando la segunda ley de Newton en la direcci´
on l, tenemos
F = ma;

Fpresion + Fgravedad = ma

la masa del elemento de fluido es m = ρ∆A∆l

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Ecuaci´on de Euler
Sustituyendo las fuerzas debido a lapresi´
on y a la gravedad (peso) en la
ecuaci´on anterior tenemos
P∆A − (P + ∆P)∆A − ∆ωsen(α) = ρ∆A∆la
Advierta que la fuerza de presi´
on que act´
ua sobre los lados del elemento
cil´ındrico no contribuye con la fuerza de presi´
on en la direcci´on l.
Sin embargo, ∆ω = γ∆l∆A de manera que
−

∆P
− γsen(α) = ρa
∆l

La presi´on es una funci´on de la posici´
on como del tiempo.

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onde Euler

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Ecuaci´on de Euler

Tomando el limite de ∆P/∆l, en un tiempo dado conforme ∆l se
aproxima a cero se obtiene la derivada parcial
∆P
∂P
|t =
∆l→0 ∆l
∂l
l´ım

La Figura II.8.1b tambi´en muestra que sen(α) = ∆z/∆l.
Tomando el limite conforme ∆l se aproxima a cero en un tiempo dado se
obtiene
∆z
∂z
sen(α) = l´ım
=
∆l→0 ∆l
∂l

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on de Euler

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As´ı, la forma limitante de la ecuaci´
on, cuando ∆l → 0 es
−

∂P
∂z
−γ
= ρa
∂l
∂l

o tomando γ como una constante
−

∂
(P + γz) = ρa
∂l

Esta es la ecuaci´on de Euler

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Ecuaci´on de Euler

Cuando la aceleraci´on es cero ∂(P + γz)/∂l = 0,que corresponde a la
ecuaci´on hidrost´atica P + γz = constante.
Suponga que el tanque con liquido abierto (ver Figura II.8.2), se acelera
hacia la derecha, con direcci´
on x positiva, a raz´
on de ax .
Con la ecuaci´on de Euler se realiza un an´alisis cuantitativo adicional de la
aceleraci´on del tanque con liquido.
Considere primero la aplicaci´
on de la ecuaci´
on a lo largo de la superficie
delliquido A B , aqu´ı la presi´
on es constante P = Patm .

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Figura II.8.2: Aceleraci´
on uniforme de un tanque con l´ıquido

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En consecuencia, ∂/∂l = 0. La aceleraci´
on a lo largo de A B esta dada
por a= ax cos(α). De aqu´ı
d
(γz) = −Pax cos(α)
dl
donde la derivada total se utiliza porque las variables no cambian con el
tiempo. El peso espec´ıfico es constante, por lo tanto
dz
ax cos(α)
=−
dl
ρ
pero dz/dl = −sen(α). As´ı se obtiene
sen(α) =

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ax cos(α)
g

o

tg (α) =

ax
g

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Ejemplo: El tanque...